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1、绝密启用前2002 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）数学（文史类）一选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1.若直线 1a x y 10与圆 x2y 22x0相切，则 a 的值为( A)1, 1(B)2,2(C)1(D )12.已知 m, n 为异面直线，m平面， n平面， l ，则 l( A)与m, n都 相 交(B)与 m, n中至少一条相交(C)与m, n都 不 相 交(D)至多与 m, n中的一条相交3.不等式 1x1x0 的解集是（）( A) x 0 x1(B) x x0且 x1(C) x1x
2、1(D ) x x1且x14.函数 ya x 在 0,1 上的最大值与最小值的和为3，则 a 的值为（）(A) 1(B) 2(C )4(D) 1245.在 0,2内，使 sin xcos x 成立的x 取值范围为（）( A), 5(B)4,424(C ), 5(D ),5, 3444426.设集合 Mx xk1 , k Z ， Nx xk1 ,kZ则（）2442( A)MN( B)MN(C)NM(D)MN7.椭圆 5x2ky25 的一个焦点是0,2 ，那么 k（）( A)1(B)1(C )5(D )58. 正六棱柱 ABDCEG A1 B1C1D1 E1 F1 底面边长为1，侧棱长为2 ，则这
3、个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是（）( A) 90o(B)60o(C)45o( D)30o9函数 yx2bxc x0,是单调函数的充要条件是（）( A) b 0( B)b 0(C )b 0( D )b 010已知0xya 1 ，则有（）( A) l oa gxy0( B)0log a xy1(C)1l o a gxy2(D ) log a xy211从正方体的 6 个面中选取3 个面，其中有2 个面不相邻的选法共有（）( A)8种(B)12种(C )16种(D)20种12平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A3,1,B 1,3，若点C 满足OCOAOB ，其中有,R
4、 且1，则点 C 的轨迹方程为 ( )( A)3x2 y110()12y225B x(C ) 2x y 0( D ) x 2 y 5 0第卷二填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分）13. 据新华社 2002 年 3 月 12 日电， 1985 年到 2000 年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中，从年到年的五年间增长最快14已知 sin 2sin,，2则 cot15甲、乙两种冬小麦试验品种连续5 年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2 ） :品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品
5、种是（复查至此）16设函数 fx 在,内有定义，下列函数1 yf x；2 y xf x 2；3 yfx ；4 yf xf x中必为奇函数的有（要求填写正确答案的序号）三解答题（本大题共6 小题，共74 分）17（本题满分 12 分）在等比数列an 中，已知 a6a5 24, a3a564 ，求 an前8项的和 S8218 （ 本 题 满 分12分 ） 已 知 sin2sin 2coscos21,0,， 求s i n 与 t a n 的值19（本题满分 12 分）（注意：考生在以下（甲） 、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以下（甲）计分）（甲） 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的底
6、面边长为a ，侧棱长为 2a（1）建立适当的坐标系，并写出点A, B, A1, C1 的坐标；（2）求 AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的角（乙）如图，正方形 ABCD , ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD , ABEF 互相垂直 点 M在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBN a 0a2（ 1）求 MN 的长；（ 2）当 a 为何值时， MN 的长最小；（3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小20（本题满分 12 分）某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5 （相互独立），（1）求至少 3 人同时上网的概率
7、；（2）至少几人同时上网的概率小于0.3 ？21（本题满分 12 分）已知 a0，函数30,f x x a x，设x10，记曲线,y f x 在点 x1 , f x1 处的切线为 l（1）求 l 的方程；（2）设 l 与 x 轴交点为x2 ,0 证明：111（） x2 a3；（）若x2 a 3则 a 3x2 x122（本题满分14 分）已知两点 M1,0 , N 1,0，且点 P使MPMN，PMPN ，NMNP 成公差小于零的等差数列（1）点 P的轨迹是什么曲线？（2）若点 P 坐标为x0 , y0 ，记为 PM 与 PN 的夹角，求tan2002 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学
8、（文史类）参考解答2002 年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（文理）参考答案一、 1、D7、 B2 、B，3、D8 、B， 9 、A，4、B， 5 、C10、D 11、B6 、B12、D，二、填空题13、 1995，2000；14、3，15 、甲种，16、（ 2），（ 4），3三、解答题17、设数列an的公比为 q ，依题意，a6a4a1q3q21 24,.(1)a3a5a1q3 264,a1q38将 a1q38代入到 (1)式，得 q213, q22, 舍去。将 a1q38代入到 (1)式, 得q213, q2.当q2, a11, S8a1 q81255,q1当q2, a1a
9、1q8185.1, S8q118、由倍角公式 sin 22 sincos,cos22 cos21, 及原式得4 s i 2n c o2 s 2 s i n c o2 s 2 c o2 s 0 ，即2cos22 sin 2sin10，也即2 cos22 sin1 sin100,sin1 0, cos20 ，22sin101， tan3，即 sin32619（甲）（ 1）如图，以点 A 为坐标原点O ，以 AB 所成直线为 Oy 轴，以 AA1 所在直线为 Oz轴，以经过原点且与平面ABB1 A1 垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系由已知得 A(0,0,0)， B(0, a,0) ， A1
10、(0,0, 2a) ， C1(3a2a, , 2a)2（2）坐标系如上，取A1 B1 的中点 M ，于是有 M (0, a ,2a) ，连 AM ， MC1 有2MC13a,0,0)，且 AB(0, a,0) ， AA1(0,0,2a) ，(2由 MC1AB0， MC1AA10，所以， MC1面 ABB1 A1 ， AC1与 AM所成的角就是AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的角 AC1(3 a, a , 2a) ， AM(0, a , 2a) ，222 AC1AM 0a 22a 29 a 2 ，44|AC1|3a 2a22a 23a ， | AM |a 22a23 a ，44429 a23
11、 cosAC1 , AM43，3aa22所以， AC1 与 AM 所成的角，即AC1 与侧面 ABB1 A1 所成的角为 30（乙）（ 1）作 MP AB 交 BC 于点 P ， NQ AB 交 BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得MP NQ ，且 MPNQ ，即 MNQP 是平行四边形 MNPQ由已知 CMBN a ， CBABBE1 ACBF2又 CPa， BQa，即 CPBQa12122 MNPQ(1CP)2BQ 2(1a ) 2( a ) 222(a2 ) 21 ( 0a2 )22（）由（） ， MN(a2)2122所以，当 a22时， MN222即 M 、 N 分别移动到AC
12、、 BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为2（）取 MN 的中点 G ，连结 AG 、 BG ， AMAN，BMBN，G为MN的中点 AG MN ， BG MN ， AGB 即为二面角的平面角又 AGBG6，所以，由余弦定理有462621441cos663244故所求二面角1arccos320（ 1）至少 3 人同时上网的概率等于1 减去至多2 人同时上网的概率，即 1C60 (0.5)6C61 (0.5)6C62 (0.5)611615216432（2）至少4 人同时上网的概率为C64 (0.5)6C65 (0.5)6C66 (0.5)6110.3，32至少 5 人同时上网的概率为(C65
13、C66 )(0.5) 670.3，640.3因此，至少5 人同时上网的概率小于21（ 1） f( x) 的导数 f( x)3x2 ，由此得切线 l 的方程y ( x13a) 3x12 (x x1 ) ，（2）依题意，在切线方程中令y0 ，得 x2x1x13a 2x13a，3x123x12111111（） x2a 3(2x13a3x12a 3 )( x1a 3 ) 2 (2x1a3 )0 ，3x123x1211 x2a 3 ，当且仅当 x1a 3 时取等成立1x13a1（）若 x1 a 3 ，则 x13a0， x2x10，且由（）x2a 3 ，3x121所以 a 3x2x122（ 1）记 P(
14、x, y) ，由 M (1,0) ， N (1,0) 得PMMP( 1x,y) ， PNNP(1x,y) ， MNNM(2,0) ，MP MN2(1x) ， PM PNx 2y 21，NMNP2(1x)，因 MP MN ， PMPN ， NMNP 是公差小于零的等差数列，x 2y 211 2(1x)2(1x)22(1x)2(1x)0即 x2y 23（ x0），所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆（2）点 P 的坐标为x0 , y0，则 x02y023 ，PM PN x02y021 2 ，|PM | |PN |(1 x0 )2y02(1 x0 ) 2y02(42x0 )(42x0 )242x02 ， cosPMPN1，|PM |PN|4x02 0x03，1cos1， 0，23111sin4 x02sin1cos21， tan| y0 |3 x024 x02cos14x02