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1、广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流2011 年 2017 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编15几何证明选讲一、解答题（ 201622）【选修 4-1：几何证明选讲】如图，在正方形ABCD 中， E， G 分别在边DA， DC 上（不与端点重合） ，且DE=DG，过 D 点作 DF CE，垂足为F.（）证明：B， C， G， F 四点共圆；（）若AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形BCGF的面积 .（ 201522）如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， O 与 ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E，F
2、 两点 .（）证明：EF BC；（）若AG 等于 O 的半径，且AE=MN= 23 ，求四边形EBCF 的面积 .DGCEFAB（ 201422）如图， P 是 O 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线PBC 与 O 相交于点 B、 C， PC=2PA， D 为 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E.证明：（） BE = EC；（） AD DE = 2PB2.（ 201322）如图， CD 为 ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D ，E ， F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且BCAEDCAF ，B、E、F、C 四点共圆 .（）证明：CA 是 ABC
3、外接圆的直径；（）若 DB BE EA ，求过 B、 E、F 、C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值 .（ 201222）如图， D ，E 分别为 ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交于 ABC 的外A接圆于 F ， G 两点，若 CF / AB，证明：（） CD = BC；GEDF（） BCD GBD .BC（ 201122）如图， D ，E 分别为 ABC 的边 AB， AC 上的点，且不与 ABC 的顶点重合 . 已知 AE 的长为m，AC 的长为 n， AD ， AB 的长是关于 x 的方程 x2- 14x+mn=0 的两个根 .（）证明：C、 B、D 、E 四点共
4、圆；（）若 A=90o，且 m=4，n=6，求 C、B、 D 、E 所在圆的半径 .广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流2011 年 2017 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编15几何证明选讲（逐题解析版）（ 201622）【选修 4-1：几何证明选讲】如图，在正方形ABCD中， E， G 分别在边 DA， DC上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D 点作 DF CE，垂足为 F.DGC（）证明： B， C， G， F 四点共圆；（）若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形BCGF的面积 .EF22. 证明：（ ） DFCE ， RtDEF RtCED ， GDFDEFBCF
5、 ，DFCF， DEDG，CDBC ，DFCFDGBCDG， GDF BCF ，ABDFGBCCFBGFBGFCCFBGFCDFGDFC90 ， GFB GCB180 B，C，G，F 四点共圆 （）E 为 AD 中点， AB1，DGCGDE1GC ，连接 GB ，在 Rt GFC 中， GF2Rt BCG Rt BFG ， S四边形 BCGF 2S BCG =2111=1 222（ 201522）如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， O 与 ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E，F 两点 .（）证明：EF BC；
6、（）若AG 等于 O 的半径，且AE=MN= 23 ，求四边形EBCF 的面积 .（ 201522）解析：（）由于ABC 是等腰三角形， ADBC ，所以 AD 是CAB的平分线， 又因为 O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以 AEAF ，故 ADEF ，从而 EF / BC .（）由（）知，AEAF ，ADEF ，故 AD 是 EF 的垂直平分线 . 又 EF 为 O 的弦，所以 O在 AD 上. 连结 OE,OM ，则 OEAE ，由 AG 等于 O 的半径得AO2OE ，所以OAE30 ，因此ABC 和AEF 都是等边三角 形 .因为AE23，所以A O4,O.因为EO MO2
7、 E,1 D M，3M所N 以OD 1.于 是2AD5,103110 32312316 3AB3. 所以四边形EBCF 的面积为()2(2 3)2.2323（ 201422）如图， P 是 O 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线PBC 与 O 相交于点 B、 C， PC=2PA， D 为 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E.证明：（） BE = EC；（） AD DE = 2PB2.（ 201422）解析：（） PC=2PA， PD =DC， PA=PD ， PAD 为等腰三角形 . 连接 AB，则 PAB = DEB =， BCE= BAE=， PAB+ BCE= PAB+
8、 BAD = PAD= 广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流PDA =DEB + DBE ， += + DBE ，即 = DBE ，亦即 BCE =DBE ，所以 BE=EC .2（） ADDE=BD DC， PA =PBPC， PD =DC=PA， BDDC =(PA- PB) PA=PBPC - PBPA=PB(PC- PA)， PBPA=PB 2PB=2PB2.（ 201322）如图， CD 为 ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点 D ，E ， F 分别为弦 AB与弦 AC 上的点，且BCAEDCAF ， B、 E、 F、 C 四点共圆 .（）证明：CA 是 AB
9、C 外接圆的直径；（）若 DB BE EA ，求过 B、 E、F 、C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值 .（ 201322）解析：（）因为 CD 为 ABC 外接圆的切线，所以 DCB A，由题设知 BCDC ，故FAEA CDB AEF ，所以 DBC EFA.因为 B， E， F， C 四点共圆，所以CFE DBC ，故 EFA CFE 90.所以 CBA 90，因此 CA 是 ABC 外接圆的直径（） 连结 CE，因为 CBE90，所以过 B，E，F ，C 四点的圆的直径为CE，由 DB BE ，有 CE DC ，又 BC2 DBBA2DB2，所以 CA2 4DB 2BC 2
10、 6DB 2.而 DC2 DBDA 3DB 2，故过 B，E，F ，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值为1 .2（ 201222）如图， D， E 分别为 ABC 边 AB， AC 的中点，直线 DE 交于 ABC 的外接圆于 F ，G 两点，若 CF / AB，证明：（） CD = BC；A（） BCD GBD .（ 201222）解析：（ ） D ，E 分别为 ABC 边 AB，AC 的中点， DE/BC. CF/AB ，DF /BC， CF /BD 且 CF=BD ，又 D 为 AB 的中点， CF/AD 且 CF =AD ， CD=AF. CF/AB， BC=AF， CD =
11、BC.（）由（）知， BC/GF， GB=CF=BD， BGD =BDG =DBC = BDC， BCD GBD .EGDFBCAEGDFBC（ 201122）如图， D ，E 分别为 ABC 的边 AB， AC 上的点，且不与 ABC 的顶点重合 . 已知 AE 的长为m，AC 的长为 n， AD ， AB 的长是关于 x 的方程 x2- 14x+mn=0 的两个根 .（）证明：C、 B、D 、E 四点共圆；广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流（）若 A=90o，且 m=4，n=6，求 C、B、 D 、E 所在圆的半径 .（ 201122）解析：（）连结 DE，根据题意在 ADE 和 ACB 中， ADAB=mn=AEAC，即 ADAE ，ACAB又 DAE= CAB，从而 ADE ACB，因此 ADE= ACB，所以 C、 B、D 、 E 四点共圆 .（） m=4，n=6 ，方程 x2- 14x+mn=0 的两根为 2，12. 即 AD =2，AB=12 ，取 CE 的中点 G，DB 的中点 F ，分别过 G、 F 作 AC、 AB 的垂线，两垂线交于点 H ，连结 D 、H ，因为 C、 B、 D、 E 四点共圆，所以圆心为 H ，半径为 DH . 由于 A=90o，故 GH AB，HF AC. 从而 HF =AG=5 ，DF =5，故半径为 5 2 .