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1、大题规范练 (十二 )“20 题、 21 题” 24 分练(时间： 30 分钟分值： 24 分)解答题 (本大题共 2 小题，共 24 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 )x2y220已知椭圆 C： a2b2 1(a b 0)，其中 F1， F2 为左、右焦点， O 为坐标原点直线 l 与椭圆交于 P(x1，y1)，Q(x2， y2)两个不同点当直线l 过椭圆 C右焦点 F22且倾斜角为 时，原点 O 到直线 l 的距离为又椭圆上的点到焦点42 .F2 的最近距离为3 1.图 1(1)求椭圆 C 的方程；(2)以 OP，OQ 为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形 OQNP 面积为
2、6时，求平行四边形OQNP 的对角线之积 |ON| |PQ|的最大值 .，直线的方程 ， c 2，c解： (1)直线 l 的倾斜角为 ，F2l4(c,0)y xc221，T(x0， y0)为椭圆 C 上任一点，2222202x|TF 2| (x01)y0(x01)1a2 (a1)1 a2(x0a2)2 ( 31)2， ax0a，当 x0 a 时， a 1 3 1， a 3，b 2，x2y2椭圆 C 的方程321.(2)当直线 l 的斜率不存在时， P，Q 两点关于 x 轴对称，则 x1 x2，y1第1页共4页2，由 P(x1，y1221 ，则 16，|y1y)在椭圆上，则 x1 y11，而 S
3、2|x132y |6|x |2| 1，知 |ON| |PQ|26，当直线 l 的斜率存在时，设直线l 为 y kx m，22代入 xy 1 可得 2x2 3(kxm)2 6，即 (23k2 )x26kmx3m2 6 0，320，即 3k22m2，x1 x2 6km 2，x1 2263m2 ，23kx23k21x2 k21x2 24x1 2|PQ|1 k |x|1xx22 6 3k22 m21 k2 3k2，到直线 l的距离|m|， S1POQd1k22 d |PQ|12 6 3k22m26 2|m|3k22，2化为 4m22 2 m222)2，(3k) (3k22222 20，(3k 2) 2
4、2m (3k2)(2m)9k412k2412m2k28m24m2 0，得到， (3k2 2 2m2)2 0，则 3k222m2，满足 0，所以 x1x23k ， y1y2k x1x2 m 3k2m1，22m222mm设 M是 ON与 PQ的交点，则2x1x2 2y1y2 29k21 11|OM |224m2m2 2 3m2 ，22 24 3k22 m22 2m21|PQ|(1 k )23k2 22m 221，|OM|2|PQ|231125，222 2mmm411当且仅当3 m22m2，即 m 2时等号成立，第2页共4页5综上可知 |OM| |PQ|的最大值为 2.|ON| |PQ| 2|OM|
5、 |PQ|的最大值为 5.121已知函数 f(x) x xaln x(aR)(1)讨论 f(x)的单调区间；(2)设 g(x) f(x)2aln x，且 g(x)有两个极值点为x1，x2，其中 x1(0，e，求 g(x1) g(x2)的最小值 .解： (1)f(x)的定义域 (0， )，1ax2ax12ax10，f(x) 1 x2xx2，令 f(x)0 得 x当 2a2 时， a240，此时， f(x) 0 恒成立，所以， f(x)在(0， )上单调递增；当 a 2 时， a240 时，但 x2 ax10 的两根 x1，x2 均为负数，此时， f(x)0 在 (0， )上恒成立，所以， f(x
6、)在(0， )上单调递增；当 a2 时， a2 40，解 x2ax 10 得两根为x1 a24a2 4a，x2a，22当 x 0，a a2 4 时， f(x)0， f(x)单调递增；22 424时， f (x)0，f(x)单调递减；当 x aa， aa22当 x a2 4时， f(x) 0， f(x)单调递增；a， 2综上得，当 a2 时， f(x)的递增区间为 (0， )，无递减区间；当 a2 时， f(x)的递增区间为242 40，aa， aa， ，递减22区间为 a2424.a，aa221(2)g(x)x xaln x，定义域为 (0， )，1ax2 ax12g(x)1x2 xx2，令
7、g (x)0 得 x ax10，第3页共4页其两根为 x1 ，x2，且x1 x2 a，121，xx11所以 x2 1，a x1x1 ，所以 a 0，x1111所以 g(x1)g(x2)g(x1) g x1 x1x1aln x1 x1 x1alnx1111 2 x1x12aln x12x1x12 x1 x1ln x1.11设 h(x)2x x 2 x x ln x，x(0， e，则 g(x1)g(x2) min h(x)min，111 1因为 h(x)2 1x2 21x2 ln x x x x2 1 x 1x ln x，2x当 x (0，e时，恒有 h (x)0，所以 h(x)在 (0，e上单调递减；4 4 所以 h(x)minh(e) e，所以 (g(x1)g(x2)min e.第4页共4页