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1、.2020 年高考文科数学概率与统计题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型例 1从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（）.A.1B.2C.8D.5525925【答案】 B【解析】可设这 5 名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2 人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有 10 种选法，其中只有前4 种是甲被选中，所以所求概率为42 . 故选 B.105例 2将 2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则2 本数学书相邻的概率为 _.【答案】 23【解析
2、】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数 1，数 2，语;数 1，语，数 2; 数 2，数 1，语 ;数 2，语，数 1; 语，数 2，数 1;语，数 1，数 2 共有6 种，其中 2 本数学书相邻的有4 种，则其概率为：p42 63【易错点】列举不全面或重复, 就是不准确【思维点拨】直接列举, 找出符合要求的事件个数.题型二几何概型例 1如图所示，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，AD正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是BC（）.A. 1B.C.1D.8442【答案】 B【解析】不妨设正方形边
3、长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半. 由几何概型概率的计算公式得，所求概率为21a22a28.故选 B.例 2在区间 0,5 上随机地选择一个数 p ，则方程 x2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的概率为 _.【答案】 234 p24(3 p2)0【解析】 方程 x2 + 2 px + 3p -2 = 0 有两个负根的充要条件是x1 x22p0即x1x23 p202p1, 或 p 2 ，又因为 p0,5 ，所以使方程 x2+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的 p3的取值范围为 ( 2 ,1 U 2,5 ，故所求的概
4、率(1 2)(5 2)2 ，故填：2 .303533【易错点】 “有两个负根 ”这个条件不会转化 .【思维点拨】 “有两个负根 ”转化为函数图像与x 轴负半轴有两个交点 . 从而得2.到参数 p 的范围 . 在利用几何概型的计算公式计算即可 .题型三抽样与样本数据特征例 1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200 ， 400 ，300 ，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件【答案】 18【解析】 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取3006018( 件) 1000例 2已知样本数据 x1 ，
5、 x2 ， xn 的均值 x5，则样本数据 2x11 ，2x2 1，2xn 1的均值为【答案】 11【解析】因为样本数据 x1 ， x2， xn 的均值 x5 ，又样本数据 2x11 ， 2x21 ， 2xn 1的和为 2 x1x2 L xnn ，所以样本数据的均值为 2x1 11.例 3 某电子商务公司对 10000名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计， 发现消费金额（单位：万元）都在区间 0.3，0.9 内，其频率分布直方图如图所示 .（1）直方图中的 a = .（2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9 内的购物者的人数为.频率 /组距a2.52.01.50.80.20
6、.30.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 金额 /万元【答案】 a 3人数为 0.6 10000 6000.【解析】由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2 0.10.8 0.1 1.50.120.12.5 0.1a0.11 ，解之得 a3 .于是消费金额在区间0.5，0.9内频率为 0.2 0.1 0.80.12 0.13 0.1 0.6 ，所以消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为0.6100006000.例 4某城市 100户居民的月平均用电量（单位：度），以 160,180 ， 180,200 ，200,220， 220,240 ， 240,260 ， 260,28
7、0 ， 280,300 分组的频率分布直方图如图所示频率组距0.01250.0110.0095x0.0050.00250.0020160180200220240260 280300 月平均用电量 /度（ 1）求直方图中 x 的值；（ 2）求月平均用电量的众数和中位数；（ 3）在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11户居民，则从月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取多少户？【答案】见解析【解析】（1）由 0.002 0.0095 0.011 0.0125x0.0050.0025201，得 x0.
8、0075 4.（2）由图可知，月平均用电量的众数是220240230 .2因为 0.0020.00950.011200.450.5 ，又 0.0020.00950.0110.0125200.70.5 ，所以月平均用电量的中位数在220,240 内.设中位数为 a ，由 0.002 0.0095 0.011 200.0125 a 220 0.5，得 a 224 ，所以月平均用电量的中位数是224 .（ 3）月平均用电量为 220,240 的用户有 0.0125 20 100 25 （户）；月平均用电量为 240,260 的用户有 0.0075 20 100 15（户）；月平均用电量为 260,2
9、80 的用户有 0.005 20 100 10 （户）；月平均用电量为280,300 的用户有 0.0025 20 1005 （户） .抽取比例为111051 ，25155所以从月平均用电量在220,240 的用户中应抽取 25 15 （户）5【易错点】 没有读懂题意 , 计算错误 . 不会用函数思想处理问题【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2 牵涉到策略问题 , 一般可以转化为比较两个指标的大小.题型四回归与分析例 1 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.年生 1.80活垃圾1.60无害 1.40化处 1.20理量y 1.000.802
10、345671年份代码 t（ 1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明（ 2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 .777参考数据：yi 9.32 ，ti yi 40.17 ，( yi y )20.55 ， 7 2.646 .i 1i 1i 1n参考公式：相关系数r(tit )( yi y )i 1，nn(ti t )2(y i y)2i1i 1n$ i(tit )( yi y)中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1，回归方程 yabtbn(tit )2i1$a= ybt .【答案】见解析【
11、解析】（ 1 ）由折线图中数据和附注中参考数据得 t724 ，tit28 ，i 172yiy0.55，i 17772.890.99 .tityiyti yit yi40.174 9.32 2.89 ， r2.646i 1i1i 10.55 26.因为 y 与 t 的相关系数近似为0.99 ，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y 与 t 的关系 .7777（1）变量 y 与 t 的相关系数 r(tit )( yi y)7 ti yitiyii 1i 1i 1i 1，7777(tit )2( yiy)27(tit )2( yiy)2i1i1i 1i177777又t
12、i 28 ，yi9.32， ti yi40.17 ，(tit ) 22 75.292 ，( yiy )20.55 ，i 1i1i 1i 1i1所以740.17289.320.99，故可用线性回归模型拟合变量y 与 t 的关系 .r75.2920.5571tiyi7ty40.1779.32174（2） t4， y?i 170.10 ，7 i1yi ，所以 b727t228i 1tia?14，所以线性回归方程为y0.1t.bx9.320.100.930.93? y7?当 t9 时， y0.190.93 1.83. 因此，我们可以预测2016 年我国生活垃圾无害化?处理 1.83 亿吨 .【易错点】
13、 没有读懂题意 , 计算错误 .【思维点拨】 将题目的已知条件分析透彻 , 利用好题目中给的公式与数据 . 题型五 独立性检验例 1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、 B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m如下表：甲乙丙丁0.80.70.60.8r2895.m115106124103则哪位同学的试验结果体现A、B 两变量更强的线性相关性？()A甲B乙C丙D丁【答案】 D【解析】 D 因为 r0 且丁最接近 1，残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数 r 的绝对值越趋向于 1, 相关性
14、越强 . 残差平方和 m越小相关性越强【巩固训练】题型一古典概型1. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是【答案】 56【解析】 将先后两次点数记为x , y，则基本事件共有 6636 （个），其中点数之和大于等于10有4,6, 5,5 , 5,6 , 6,4, 6,5, 6,6，共 6 种，则点数之和小于 10 共有 30 种，所以概率为305 3662. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 在
15、不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是（A 1B 1C 1D121415）.1188.【答案】 C【解析】 不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个，随机选取两数有 45 （种）情况，其中两数相加和为30 的有 7 和 23，11 和 19，31P15.故选C.13 和 17，共 3 种情况，根据古典概型得453. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1只白球， 1只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为5【答案】 P6【解析】 1只白球设为 a ，1只红球设为 b ，
16、2只黄球设为 c ， d ，则摸球的所有情况为a,b ， a, c ， a,d ， b, c， b,d ， c,d ，共 6 件，满足题意的事件为a,b ， a,c ， a,d ， b,c ， b, d ，共 5件，故概率为 P5 6题型二几何概型1. 某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，学 . 小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）.A.1B. 1C. 2D. 33234【答案】 B【解析】如图所示，画出时间轴.7:307:40 7:508:00 8:10 8:208:30ACDB小明到
17、达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟 .10101根据几何概型，所求概率P402.故选 B.2. 从区间 0 , 1 随机抽取 2n 个数 x1 ， x2 ， ， xn ， y1 ， y2 ， ， yn ，构成 n 个数对x1 , y1， x2 , y2 ， ，xn , yn，其中两数的平方和小于1 的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）.A. 4nB. 2nC. 4mD.mmn2mn【答案】 C【解析】由题意得： xi ，yii1，2 ， ，n 在如图所示方格中，而平方和小于1 的点m ，所以
18、 4m.故选C均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知41nn3. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC ， ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为，在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1 ， p2 ， p3 ，则A p1 p2Bp3Cp3Dp2 p3 p1 p2 p1【答案】 A【解析】概率为几何概型， 总区域面积一定， 只需比较， ，区域面积即可 .设直角三角形ABC 的三个角 A ， B ， C 所对的边长分别为a ， b ， c ，则区域的
19、面10.积为 S11ab，2222区域的面积为 S21 1 c1 1 b1 ab1 1 a1 ab ，22222222221 aba2 1 ab .区域的面积为 S31 1 c1 1 b12222282显然 p1p2 . 故选 A.题型三抽样与样本的数据特征1. 已知一组数据， ， ，那么这组数据的平均数为465876【答案】 10【解析】 平均数 x1465 876662. 某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 0.3, 0.9 内，其频率分布直方图如图所示 .（）直方图中的a_；（）在这些购物者中，消费金额在区间0
20、.5, 0.9 内的购物者的人数为_.【答案】 3；6000【解析】 频率和等于 1 可得 0.2 0.10.80.1 1.5 0.1 2 0.1 2.50.1 a 0.1 1 ，解之得 a 3 . 于是消费金额在区间0.5,0.9 内频率为 0.20.1 0.80.1 2 0.1 3 0.1 0.6 ，所以消费金额在区间 0.5, 0.9 内的购物者的人数为： 0.6100006000 ，故应填 3；6000.3. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月用水量标准 x（吨）、一位居民的月用.水量不超过 x 的部分按平价收费
21、， 超出 x 的部分按议价收费 . 为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照 0,0.5 ， 0.5,1 ， ， 4,4.5 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 .（ 1）求直方图中 a 的值；（ 2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，请说明理由；（ 3）若该市政府希望使 85% 的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值，并说明理由 .【答案】见解析【解析】（1）由频率分布直方图知， 月均用水量在0，0.5 中的频率为0.08 0.50.04，同理，在0.5,1， 1.5,
22、2 ， 2，2.5 ，3，3.5， 3.5，4 ， 4，4.5 中的频率分别为 0.08 ，0.20 ，0.26 ，0.06 ，0.04 ，0.02 .由 0.04+0.08+0.5a0.200.260.5a0.060.040.021 ，解得 a0.30.（2）由（1）， 100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为 0.06+0.04+0.02=01.由以上样本的频率分布， 可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300000 0.12 36000.（ 3）因为前 6组的频率之和为 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15=0.88 0.85，而前 5组的
23、频率之和为 0.04+0.08+0.150.20 0.26=0.730.85 ，所以 2.5, x 3.由 0.3x 2.5 0.85 0.73 ，解得 x2.9.题型四回归与分析1. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系， 随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：12.收入 x （万8.28.10.11.11.9元）603支出 y （万6.27.8.08.59.85元）?，据此估计，该社区根据上表可得回归直线方程 ybxa，其中 b0.76,ay bx一户收入为 15 万元家庭年支出为（）A11.4 万元B11.8万元C12.0 万元D12.2万元【答案】 B【解析】 由已知
24、得8.28.610.011.311.9（万元），x5106.27.58.08.59.88 （万元），故?y5a 8 0.76 10 0.4 ，所以回归直线方程为y?0.76 x0.4 当社区一户收入为15 万元，家庭年支出为y?0.76150.411.8 （万元）故选 B2. 为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y与 x 之间有线性相关关?系，设其回归直线方程为ybx a 已知1010xi225 ，yi1600 ， b 4该班某?i 1i 1学生的脚长为 24，据此估计其身高为（）.A. 160B
25、. 163C. 166D. 170【答案】 C.【解析】 x$160 4 22.5 70， x24 时， y 4 24 70 166 .22.5 ， y 160，所以 a故选 C.3. 某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费， 需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi i 1,2, ,8 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值年销售量 /t6206005805605405205004803436 384042 44464850 525456年宣传费 /千元8288xy wxix82
26、wi w yi yi 1wi wxix yiyi 1i 1i 146566.289.81.61469108.8.638表中 wixi18， wwi ，8 i1（1）根据散点图判断， y abx 与 yc d x 哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（ 2）根据（ 1）的判断结果及表中数据，建立 y关于 x 的回归方程；（ 3）已知这种产品的年利润 z 与 x ， y的关系式为 z 0.2 y x ，根据（ 2）的结果回答下列问题：14.（）年宣传费x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附
27、：对于一组数据u , v u ,v，u,vvu的斜率和1122nn ，其回归直线n?ui uviv?i 1， ? v截距的最小二乘估计分别为nu .u2uii 1【答案】见解析【解析】（1）由散点图变化情况可知选择ycdx 较为适宜8wiwyiy（2）由题意知 di182108.868 又 ycd x 一定过点 , y，wiw1.6i1所以 c y d563686.8100.6 ，所以 y与 x 的回归方程为 y100.6 68 x （3）（）由（ 2）知，当 x49 时， y100.6 6849576.6 t ，z 0.2 576.649（千元），66.32所以当年宣传费为 x49 时，年销
28、售量为576.6 t ，利润预估为 66.32千元（）由（ 2）知， z0.2 yx0.2100.668 x x13.6 x x 20.1226.8220.12 ，所以当 x6.8时，年利润的预估值最大，x 6.8即 x 6.8 2 46.24 （千元）题型五独立性检验1. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用， 把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 22列联表计算的 K23.918 ，则下列表述中正.确的是（）A有 95的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B若有人未使用该血清，那么他一年中有95的可能性得感冒C这种血清预防感冒的有效率为95D这种血清预防感冒的有效率为5【答案】 A【解析】 由题可知，在假设H 成立情况下，P(K 23.841) 的概率约为 0.05 ，即在犯错的概率不错过 0.05 的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有 95的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” . 这里的 95是我们判断 H 不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故 B 错误 . C，D也犯有 B中的错误.故选 A2. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y 之间关系最强的是()AB【答案】 D【解析】在频率等高条形图中，