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1、万有引力与航天章末复习规律方法总结应用万有引力定律研究天体运动问题是高中物理的重要内容和高考热点，在分析天体运 动问题时，要注意模型构建思想的应用1建立质点模型天体有自然天体(如地球、月亮)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，应把研究对象看做质点人造天体直接看 做一个质点，自然天体看做是位于球心位置的一个质点2建立匀速圆周运动模型行星与卫星的绕行轨道大都是椭圆，但用圆周运动知识处理近似圆的椭圆轨道问题，误差不大并且方便解决，因此天体的运动就抽象为质点之间相互绕转的匀速圆周运动 3常见的匀速圆周运动三种绕行模型(1) 核星模型：这种天体运
2、动模型中，一般由运行天体绕中心天体 (视为静止 )做匀速圆 周运动，即为常规性运动模型(2) 双星模型：在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间 的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动(3) 三星模型：宇宙中存在一些离其他恒星较远的三颗星组成的相对稳定的系统，三颗 星可能构成稳定的正三角形，也可能在同一直线上专题一 万有引力定律及其应用万有引力定律揭示了自然界中物体间普遍存在的一种基本相互作用规律将地面上物体的运动与天体的运动统一起来万有引力定律的具体应用有：根据其规律发现新的天体，测天体质量，计算天体密度，研究天体的运动规律等，同时也是现代空间技术的
3、理论基础这一部分内容公式变化多，各种关系复杂，要紧紧把握住“万有引力提供向心力”这一点来进 行，是高考的热点，也是学习的难点1建立两种模型一是绕行天体的质点模型；二是绕行天体与中心天体之间依靠两者之间万有引力提供向 心力的匀速圆周运动模型r2 22v 422抓住两条思路天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决 问题的基本思路有两条：Mm(1)利用在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力即 G mg (g 表示天体表面的2 0 0重力加速度)注意：在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度 g 时，常运用 GMg R0 0作为桥梁，把“地上”和“天上
4、”联系起来由于这种代换的作用巨大，此式通常称为黄金 代换式2(2)利用万有引力提供向心力Mm v 4即 G ma，a r v r.r2 r T2注意：向心加速度的几种表达形式，要根据具体问题，把这几种表达式代入公式，讨论 相关问题3澄清几个模糊概念(1)不同公式和问题中的 r 含义不同Mm Mm如在公式 G mg 中，R 表示地球的半径；在公式 G ma 中，r 是指两天体之间的距 R2 r22 2离，而 a r v r 中的 r 指的是某天体做圆周运动的轨道半径，若轨道为椭圆 r T2则是该天体运动所在点处的曲率半径一般地说，两个 r 不相等，只有对于那些在万有引力 作用下，围绕某中心天体做
5、圆周运动的天体来说，两个 r 才相等(2)天体半径和卫星轨道半径的区别天体半径反映天体大小，而卫星轨道半径是卫星绕天体做圆周运动的半径，一般地说，卫星的轨道半径总大于该天体的半径，只有卫星贴近天体表面运行时，可近似认为卫星轨道 半径等于天体半径误区警示：(1)(2)中提到的问题，在有关天体绕行，特别是双星问题以及天体密度的求 解中最容易出错，应引起重视(3)万有引力与重力物体的重力并不等于地球对物体的万有引力，重力实际上是地球对物体的万有引力的一 个分力但由于两者差距不大所以通常情况下认为两者相等(不考虑地球自转)Mm GM地球表面附近，G mg，所以 g (其中 g 为地球附近重力加速度，M
6、 为地球的质R2 R2200A量，R 为地球的半径，G 为引力常量)Mm GM离地面高 h 处，G mg，所以 g .（Rh）2 （Rh）2Mm绕地球运动的物体的重力等于万有引力，且提供向心力：mgG Fr2 向(4)随地球自转的物体向心加速度和环绕运行的向心加速度不同放在地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动，所以具有向心加速度，该加速度是地球Mm对物体的引力和地面支持力的合力提供的(赤道处 G mgmR22R)，一般来讲是很小的；环Mm v2绕地球运行的卫星，具有向心加速度，该加速度完全由地球对其的万有引力提供G m r r .两处向心加速度的数值是不同的如：质量为 1 kg 的物体在赤道上
7、随地球自转的向心加速度是 0.34 m/s2，而假设它成为紧贴地面飞行的一颗卫星，其环绕运行的向心加速度为 9.8 m/s2.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒 A 和 B 与土星中心的距离分别为 r 8.0105 km 和 r 1.2105 km.忽略所有岩石A B颗粒间的相互作用(结果可用根式表示)(1) 求岩石颗粒 A 和 B 的线速度之比；(2) 求岩石颗粒 A 和 B 的周期之比；(3) 土星探测器上有一物体，在地球上重为 10 N，推算出它距土星中心 3.2105 km 处受到土星的引力为 0.38 N已知地球半径为 6.4103 k
8、m，请估算土星质量是地球质量的多少 倍解析：(1)设土星质量为 M ，颗粒质量为 m，颗粒距土星中心距离为 r，线速度为 v，根0据牛顿第二定律和万有引力定律可得M m mv2G ，解得 v r2 rGMr.对于 A、B 两颗粒分别有v AGM0rA和 v BGM0rB，v 6得 .v 2B(2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为 T，则 2 rT ，v对于 A、B 两颗粒分别有ABABA00 000022 322 r 2 rT 和 T ，v vA BT 2 6得 .T 9B(3)设地球质量为 M，地球半径为 r ，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体0质量为 m ，在地球表面重力为 G
9、，跟土星中心相距 r 3.2105 km 处的引力为 G ，根据0 0 0 0万有引力定律得GMm GM mG ，G ，r2 r20 0M解得 95.M答案：(1)6 2 6(2) (3)95 倍2 9在天体演变过程中，红色巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星 (电子被迫同 原子核中的质子相结合形成中子)，中子星具有极高的密度；(1) 若已知某中子星的密度为 1017 kg/m3，该中子星的卫星绕它做圆轨道运动，试求该中 子星的卫星运行的最小周期(2) 中子星也在绕自转轴自转，若某中子星的自转角速度为 191 rad/s，若想使该中子星不致因自转而被瓦解，则其密度至少为多大(假设中子星是通
10、过中子间的万有引力结合成球状星体引力常量 G6.671011Nm2/kg2)?解析：设中子星质量为 M，半径为 R，密度为 ，自转角速度为 .(1)假设有一颗质量为 m 的卫星绕中子星运行，运行半径为 r，则有 F F ，引 向即GMm 4m r，r2 T2所以 T2r3，GM要使 T 最小，即要求 rR， 4 R所以 M ，GT2M 3 ，4 GTR33所以 T3 G，代入数据得 T1.2103 s.(2)在中子星表面取一质量微小的部分 m，故中子星剩余部分的质量仍认为是 M，要使中2214 3GMm子星不被瓦解，即要求 M 与 m 间万有引力不小于 m 绕自转轴自转的向心力，则 m R，R
11、2M又因 ，4R333所以 1.310 kg/m .4 G答案：(1)1.2103 s (2)1.31014 kg/m3专题二 人造地球卫星卫星问题是物理知识在高科技中的综合应用，题中经常涉及新的科技信息，解决此类问题除掌握物理学基础知识外，还要注意新的科技动态，对学科知识融会贯通，才能顺利解答 1对“人造卫星几个速度”的理解(1)发射速度：是指卫星直接从地面发射后离开地面时的速度，相当于在地面上用一门威力强大的大炮将卫星轰出炮口时的速度，发射卫星离开炮口后，不再有动力加速度(2)轨道速度(运行速度)：人造卫星在高空沿着圆轨道或椭圆轨道运行若沿圆轨道运 行，此时 F F ，即向 引v2 Mmm
12、 G ，r r2所以 vGMr.式中 M 为地球质量，r 为卫星与地心之间的距离，v 就是卫星绕地球运行的速率此式适用于所有在绕地球圆轨道上运行的行星，由于 v 减小，即卫星离地球越远，其轨道速率就越小1，所以 v 随着 r 的增大而 r当 rR 时，vv ，即第一宇宙速度是轨道速度的特例；当 rR 时，vm 时，卫星做近心运动；当 F m ，飞船在万有引力的作用下，高度降低，r2 r2 R 2万有引力做正功，速度增大，根据 T ，周期减小， ，角速度增大亦可根据 Fv TMm v 2 G m mr ma 知，半径减小，线速度、角速度、向心加速度增大，周期减小故 r2 r T 必须进行多次轨道
13、维持6近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的比较(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同 (rR)，同步卫星的轨道半径较 大(rR)(2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同(T24 h)，由 T2 近地卫星的周期要小于同步卫星的周期(T84.8 min)r3可知，GMM(3)向心加速度：由 aG 知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度r22 由 a r r 知，同步卫星加速度大于赤道上物体的加速度T (4)向心力：近地卫星和同步卫星都只受万有引力作用，由万有引力充当向心力，满足万有引力充当向心力所决定的天体运行规律赤道上的物体由万有引力和地面支持力的
14、合力 充当向心力，它的运动规律不同于卫星的运动规律一组太空人乘坐太空穿梭机去修理位于地球表面6.0105 m 的圆形轨道上的哈勃太空望远镜 H.机组人员使穿梭机 S 进入与 H 相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设 G 为引力常量，M 为地球质量(地球半径为 6.4106 m，地球表面 g 取 9.8 m/s2)则：(1)在穿梭机内，一质量为 70 kg 的太空人的视重是多少？2211112 2111113232(2) 计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期(3) 穿梭机须首先进入半径较小的轨道才有较大的角速度追上望远镜，试判断穿梭机要 进入较低轨
15、道时应在原轨道上加速还是减速？说明理由解析：(1)穿梭机内的太空人处于完全失重状态，故视重为零Mm M Mm M g R2(2)在地球表面，由 mgG 得 gG ；在轨道处，由 mgG 得 gG ，则 ，R2 R2 r2 r2 g r2R2g g，代入数据得 g8.2 m/s2.r2Mm v2由 G m 得 v r2 rGM，又 GMgR2，则 v rgRr2，代入数据得 v7.6 km/s.Mm 4由 G m r 得 T2 r2 T2r3，又 GMgR ，则 T2 GMr3gR2 2 r 或由T v ，代入数据得 T5.8103 s.(3)穿梭机要进入较低轨道时应在原轨道上减速Mm v2由
16、G m 知，穿梭机要进入较低轨道必须满足万有引力大于穿梭机做圆周运动所需要 r2 rv2 Mm v2的向心力所以 v 减小，m 才能减小，这时 G m ，穿梭机做向心运动，其轨道半径才能减r r2 r小，故穿梭机要进入较低轨道时应在原轨道上减速答案：见解析(多选)同步卫星离地心距离为 r，运行速率为 v ，加速度为 a ；地球赤道上的物体随1 1地球自转的向心加速度为 a ，第一宇宙为 v ，地球半径为 R，则下列比值正确的是( )2 2a r a RA. B. ( )2a R a r2 2v r vC. D. v R v2 2Rr解析：设地球质量为 M，同步卫星质量为 m ，地球赤道上的物体质量为 m ，在地球表面1 2运行的物体质量为 m ，由于地球同步卫星周期与地球自转周期相同，3则 a r1，a R ， . 1 2 2 1 2a r故 ，A 选项正确a R2依据万有引力定律和向心力表达式可得Mm v2对 m G m ，则 v r2 1 rMm v2对 m G m ，则 v R2 3 RGM.rGM.R1v解得： v2答案：ADR，故 D 选项正确 r