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1、不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1) 对称性：abba(2) 传递性：cacbba, (3) 加法法则：cbcaba；dbcadcba,( 同向可加 ) (4) 乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0, bdacdcba0,0( 同向同正可乘) (5) 倒数法则： ba abba 11 0,(6) 乘方法则：)1*(0nNnbaba nn 且 (7) 开方法则：) 1*(0nNnbaba nn 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、
2、一元二次不等式的解法 一元二次不等式000 22 acbxaxcbxax或的解集： 设相应的一元二次方程00 2 acbxax的两根为 2121 xxxx且、，acb4 2 ，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法 ： 标根法：其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因 式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿 ； （3）根据曲线显现的符号变 化规律，写出不等式的解集。如： xxx1120 23 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分
3、母分解因式，并使每一个 因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去 分母。 ( ) ( )0 ( )( ) 0( ) ( )0;0 ( )0( )( ) f x g x f xf x f x g x g xg xg x 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上 min fxA 若不等式Bxf在区间 D上恒成立 , 则等价于在区间D上 max fxB ( )f x （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C0
4、 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. （虚线表示 区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,) ，把它的坐标（yx,) 代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同， 所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0) ， 从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当C0 时，常把 原点 作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： 线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y 的一次不等
5、 式，故又称线性约束条件 线性目标函数 ： 关于 x、 y 的一次式z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题 ： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （ 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （ 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （ 3）依据线性目标函数作参照直线ax+
6、by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式 2 ab ab 1若 a,bR,则 a 2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号 . 2如果 a,b 是正数，那么).( 2 号时取当且仅当baab ba 变形：有:a+bab2；ab 2 2 ba ,当且仅当a=b 时取等号 . 3如果 a,bR+,ab=P (定值 ),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P2; 如果 a,bR+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当a=b 时,ab 有最大值 4 2 S . 注： （1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值， 正所谓
7、“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4. 常用不等式 有： （1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号） ； （3）若，则（糖水的 22 2 2211 abab ab ab 222 abcabbccaabc0,0abm bbm aam 浓度问题）。 不等式主要题型讲解 （一）不等式与不等关系 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 1.设2a， 1 2 pa a ， 24 2 2 aa q，试比较qp,的大小 （二）解不等式 题型三：解不等式 解不等式 2 (1)(2)0 xx。3 .
8、 2 5 1 23 x xx 2.不等式 2 120axbx的解集为 x|-1 x 2 ，则a=_, b=_ 3.关于x的不等式0bax的解集为), 1(，则关于x的不等式0 2x bax 的解集为 题型四：恒成立问题 4.关于 x 的不等式a x 2+ a x+10 恒成立，则a 的取值范围是 _ 5.若不等式 2 2210 xmxm对 01x的所有实数x都成立，求m的取值范围 . 6.已知0,0 xy且 19 1 xy ，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 （三）基本不等式 2 ab ab 题型五：求最值 7.求下列函数的值域 （1）y3x 2 1 2x 2（2）当时，求(82 )
9、yxx的最大值。 8.（耐克函数型）求 2 710 (1) 1 xx yx x 的值域。 注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( ) a fxx x 的单调性。 9.（用耐克函数单调性）求函数 2 2 5 4 x y x 的值域。 （1）若实数满足2ba，则 ba 33的最小值是 . （2）已知0,0 xy，且 19 1 xy ，求xy的最小值。 （3）已知 x，y 为正实数，且x 2 y 2 2 1，求 x1y 2 的最大值 . （4）已知 a，b 为正实数， 2baba30，求函数y 1 ab 的最小值 . 题型六：利用基本不等式证明不等式 10.已知cba,
10、为两两不相等的实数，求证：cabcabcba 222 11.已知 a、b、cR，且1abc。求证： 111 1118 abc （四）线性规划 题型八：目标函数求最值 12.满足不等式组，求目标函数的最大值 13.已知 ,x y 满足约束条件： 0 344 0 x xy y ,则 22 2xyx 的最小值是 14.已知变量（其中 a0） 仅在点 （3，0）处取得最大值， 则 a 的取值范围为。 15.已知实数xy，满足 1 21 y yx xym ， ， 如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于（） 题型九：实际问题 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35 元，售 价 50 元；凤梨月饼每个成本2
11、0 元，售价30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10 个，售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？ 复习不等式的基本知识参考答案 高中数学必修内容练习-不等式 1.； 2.pq； 3.当0 1x 或 4 3 x 时，1+3log x 2log2 x ；当 4 1 3 x 时，1+3log x 2log2 x ；当 4 3 x 时，1+3log x 2log2 x 0, 087 032 yx yx yx yxk3 230 ,330. 10 xy x yxy y 满足约束条件若目标函数zaxy 4.1ba 0lg,0lgba 2 1 Q（p
12、babalglg)lglg Qabab ba Rlg 2 1 lg) 2 lg( RQP。 5. 6.|1x x或2x； 7. ( 1,1)(2,3) ） ； 8.不等式 2 120axbx的解集为 x|-1 x2，则a=_-6_, b=_6_ 9. ), 2()1,( ）. 10.解：当 a0 时，不等式的解集为 1x x； 2 分 当 a0 时， a(x a 1 )(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(x a 1 )(x1)0 不等式的解集为 1 1x xx a 或； . 6 分 当0a1时， 1 a 1 ，不等式的解集为 1 1xx a ； . 8分 当 a1时， a 1 1，不等式的
13、解集为 1 1xx a ； . 10分 当 a1时，不等式的解为 . 12 分 11._0 x4_ 12. 1 2 m ） 13. ,16m 14.解： （1）y3x 2 1 2x 2 23x 21 2x 2 6 值域为 6 ，+） （2）当 x0 时， yx 1 x 2x 1 x 2； 当 x0 时， yx1 x = （x 1 x ） 2x 1 x =2 值域为（，22，+） 15.（1）解 5 ,540 4 xx ， 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 1 54 54 x x ，即1x时，上式等号成立，故当1x时， max 1y。 （2） 当，即 x2 时取等号当
14、x2 时，(82 )yxx的最大值为8。 16.解析一： 当, 即时, 4 21)59 1 yx x （当且仅当x1 时取“”号）。 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt ） 当, 即 t=时, 4 259yt t （当 t=2 即 x1 时取“”号）。 17.解：令 2 4(2)xt t ，则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因 1 0,1tt t ，但 1 t t 解得1t不在区间 2, ，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 yt t 在区间
15、1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故 5 2 y。 所以，所求函数的值域为 5 , 2 。 18.（条件不等式） （1）解： ba 33 和 都是正数， ba 33 632332 baba 当 ba 33时等号成立，由2ba及 ba 33得1ba即当1ba时， ba 33的最小值是6 （2）解： 19 0,0,1xy xy ， 199 1061016 yx xyxy xyxy 当且仅当 9yx xy 时，上式等号成立，又 19 1 xy ，可得4,12xy时， min 16xy （3）解： x1y 2 x21y 2 2 2 x 1 2 y 2 2 下面将 x， 1 2 y 2 2
16、 分别看成两个因式： x 1 2 y 2 2 x 2( 1 2 y 2 2 )2 2 x 2y 2 2 1 2 2 3 4 即 x1y 2 2 x 1 2 y 2 2 3 4 2 （4）解：法一： a302b b1 ，ab 302b b1 b 2 b 230b b1 由 a0 得， 0b15 令 tb+1，1t16，ab 2t 234t31 t 2（t16 t ） 34t16 t 2t16 t 8 ab18 y 1 18 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。 法二：由已知得：30aba2b a2b22 ab 30 ab22 ab 令 u ab 则 u 22 2 u300， 52 u3
17、2 ab32 ，ab18， y 1 18 19.已知cba, 为两两不相等的实数，求证：cabcabcba 222 20.正数 a，b，c满足 abc1，求证： (1a)(1b)(1c)8abc 21.已知 a、b、c R ，且 1abc 。求证： 111 1118 abc 证明：a、b、c R，1abc。 112 1 abcbc aaaa 。同理 12 1 ac bb ， 12 1 ab cc 。上述三个不等 式两边均为正，分别相乘，得 111222 1118 bcacab abcabc 。当且仅当 1 3 abc 时取等号。 22.解：若设污水池长为x 米，则宽为（米）水池外圈周壁长： （米）中间隔墙长： （米） 池底面积： 200（米 2） 目标函数： 23.4 24. 25.1 26.。 27.5 解： 设一盒內放入x 个豆沙月饼， y 个凤梨月饼，利润为z 元 则 x，y 必须满足， 目标函数为z15x10y ) 2 1 ,3( ), 2 1 (