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1、北京师范大学附属中学2019 届高三上学期期中考试数学试题（文）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合 Ax | x 40 ， Bx | ex1，则AB （）A.RB.(,4)C. （ 0，4）D. (4,)2.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角 的终边经过点M（ 1， 2），则 sin 2=（）A.2B.2554D.4C.553.已知数列an 满足 an1an3,S510 ，则 a7 为（）A. 14B. 12C. 15D. 224.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A（ 1， 0）
2、， B（1， 1），设OP OAkOB (k R) ，且 OBOP ，则 |OP | =（）A. 2B.22D.1C.225.已知 m， n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若 m ， n，则 m nB. 若 m ， n，则 m nC. 若 m ， m n，则 n D. 若 m ， m n，则 n x3,6. 若 x， y 满足xy2, 则 y2x 的最大值为（）yx,A. 6B. 1C. 4D. 87. 在 ABC 中， “a 2,b277, B 60 ”是 “cos A”的（）7A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8.
3、已知在直角三角形 ABC 中，A 为直角，AB=1，BC=2 ，若 AM 是 BC 边上的高，点 P 在 ABC内部或边界上运动，则AM BP 的取值范围是（）A. 1,0B. 1 ,02C. 3 , 1D. 3 ,0424二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。9. 若向量 a(1,2) 与向量 b( , 1)共线，则实数=_.10.等比数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 4a1,2 a2， a3 成等差数列 . 若 a1 1，则 S3_.11.已知函数 f ( x)log 1x, x12，则 f ( x) 的最大值为 _；若关于 x 的方程2x1, x1f ( x) a 有且
4、只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 _.12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_，最长的棱长为_.13. 已知数列an的通项公式为ann2kn ，请写出一个能说明“若an为递增数列，则k 1 ”是假命题的 k 的值 _14. 某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示 .若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述错误的是 _甲只能承担第四项工作乙不能承担第二项工作丙可以不承担第三项工作丁可以承担第三项工作三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题
5、13 分）已知函数f ( x)3 sin(2 x)2sin x cos x1.6（I ）求函数f ( x) 的单调递增区间；（II ）当 x, 时，求函数f ( x) 的最大值和最小值.4416. （本小题 13 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 a84, a1314.（I ）求数列an 的通项公式；（II ）在公比为 q(q 1) 的等比数列b 中， b2a8 ,b1 b2 b3 a13 ，求nq q4q7q22 .17. （本小题 13 分）在锐角 ABC 中， a， b， c 分别为内角A， B， C 所对的边，且满足3a2bsin A0 .（I ）求角 B 的大小；（I
6、I ）若 ac5,b7 ，求 ABC 的面积 .18. （本小题 14 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， BAD =60，平面 SAD平面 ABCD ，SA=SD， E， P， Q 分别是棱 AD ， SC， AB 的中点 .（ I ）求证： PQ平面 SAD；（ II ）求证： AC平面 SEQ；（ III ）如果 SA=AB=2，求三棱锥 S ABC 的体积 .19. （本小题 13 分）设点 F 为椭圆 E： x2y21(a b 0) 的右焦点， 点 P(1,3) 在椭圆 E 上，已知椭圆 E 的a2b22离心率为 1.2（I ）求椭圆E 的方程；（II ）
7、设过右焦点F 的直线积为 t，求 t 的最大值 .l 与椭圆相交于A，B 两点， 记ABP 三条边所在直线的斜率的乘20. （本小题 14 分）已知函数f ( x)（I ）求曲线y(x 2)ln x f (x) 在 x2x3 .1处的切线方程；（II ）当 x1时，求 f (x) 的零点个数；a(x 1)在 1,) 上是增函数，求证： a49（III ）若函数 g( x) ( x a) ln x.x4【参考答案】一、选择题（每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）12345678CDACBBAD二、填空题（每小题5 分，共 30 分）19.；10. 7；1
8、1. 1；（ 1， 0）12. 10； 52 ；213. （ 1， 3）内任意一个数均可；14. ；三、解答题（共80 分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）3115.解：（ I ） f (x)3( sin2xcos2x) sin2x 1221 sin2x3 cos2x1sin(2 x)1223由22，得5，2xkkxkk2121223所以，函数f ( x) 的单调递增区间是 k5 , k, kZ ；1212（II ） f ( x)sin(2 x3)1 ，由 x, ，得 2x3,5，4466当 2x，即 x时， f ( x) 有最大值 f () 11 2 ；321212当 2x，即 x
9、时， f (x) 有最大值f ()1 11；36442216. 解：（ I）设等差数列an的首项为 a1 ，公差为d，由已知可得 a17d4,a1 12d 14，解得 d2,a10 .1所以an102(n1) 212.n（II ）依题意，b1q4,b1 b1qb1 q214 ，即 b1q4,b14q10 ，消去 b1 ，得 2q25q 2 0，解得 q2 或 q1（舍），2当 q2时， qq4q7q222 (2241) ；717. 解：（ I）因为3a2b sin A0 ，由正弦定理得：3sin A2sin B sin A0在锐角 ABC 中， sin A0 ，所以3 2sin B 03，即
10、sin B2又 B (0, )，所以B；23（II ）因为 a c5 ，所以 a2c22ac 25由余弦定理得：a2c22ac cos7 ，即 a2c2ac 73由解得： ac 6，所以 S ABC11333absin B62；222故所求 ABC 的面积是 33218.（ I）证明：取SD 中点 F，连结 AF ，PF .因为 P，F 分别是棱SC， SD 的中点，所以 FPCD，且 FP1CD .2又因为菱形ABCD 中， Q 是 AB 的中点，所以 AQ CD，且 AQ所以 FP AQ 且 FP=AQ.所以 AQPF 为平行四边形所以 PQ AF.又因为 PQ平面 SAD，1 CD .2
11、.AF平面 SAD.所以 PQ 平面 SAD（II ）证明：连结BD ，因为 SAD 中 SA=SD，点 E 是棱 AD 的中点，所以 SEAD .又平面 SAD平面 ABCD ，平面 SAD平面 ABCD =AD ，SE平面 SAD，所以 SE平面 ABCD ，所以 SEAC.因为底面 ABCD 为菱形，E， Q 分别是棱AD ， AB 的中点，所以 BD AC， EQBD .所以 EQ AC，因为 SEEQE，所以 AC平面 SEQ.（ III ）解：因为菱形 ABCD 中， BAD=60， AB=2，所以SABC12AB BC sinABC3.因为 SA=AD=SD=2， E 是 AD
12、的中点，所以SE3 .由（ II ）可知 SE平面 ABC，所以三棱锥 S ABC 的体积 V1SABC SE1 .319. （ I）解：设 ca2b2 ，由题意，得c1，所以 a 2c,b3c .a2x2y21，又点 P(1,3则椭圆方程为23c2) 在椭圆上，4c2所以 131，解得 c21 ，4c24c2故椭圆方程为x2y21.43（II ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点F（1，0），设直线 l 的方程为 yk( x1) ，与椭圆的交点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，yk( x1),由 x2y2消去 y，得 (3 4k 2) x2 8k 2x 4k 2 12
13、 0 .431,由题意，可知 0，则有 x1x28k2， x1x24k 212，34k 234k 2y13y232 ，直线 PB 的斜率 kPB2 ，所以直线 PA 的斜率 kPAx1x211y13y23k (x1 1)3 k ( x2 1)3所以 tkPAkPBk22k22kx1 1x21x1 x2( x1x2 ) 1k2 x x2( xx ) 13 k (xx22)9112214kx1x2( x1x2 ) 1 k 23 k( x1x22)924 kx1x2 ( x1x2 ) 1( k3)kk23 k .44即 tk 23 k(k3)29，4864所以当 k39时， ABP 三条边所在直线的
14、斜率的乘积t 有最大值.86420.解：（I） f (x)ln xx22ln x23则：f (1)，又xx1f (1) 1所以，所求切线方程为y11 ( x1)，即 yx2.（II ）因为 f ( x)120 ，xx2所以 f (x) 在 1,) 上是增函数，则 f (x)f (1) 1，所以 f (x) 在 1,) 上是增函数，又f (1)1，f (2) 1，所以 f (x) 在 1,) 上有唯一零点，且零点在1， 2上 .（III ）由题意，g (x)xaa0在1,) 上恒成立，ln xxx2即 (x1)a x2 (ln x 1) 在 1,) 上恒成立，当 x1时， aR ；当 x1时，
15、ax2 (ln x1) 恒成立，( x 1)设 h( x)x2 (ln x1) ( x1)( x1)所以 h (x)x( x2)lnx 2x3xf ( x)，( x1)2( x1)2由（ II ）可知，m(1,2) ，使 f (m)0 ，所以，当 x(1,m) 时， h (x)0 ，当 x(m,) 时 h (x)0由此， h(x) 在 (1,m) 单调递减，在 (m,) 单调递增 .m2 (ln m1)所以， h(x)minh(m)m1又因为 f (m)(m2)ln m2m30 ，32m所以 ln mm2从而 h( x)minh( m)m2，2m所以 am22.m又因为， f ( 3)1 ln 30 ，222f ( 7)1 ln 7 1 1 (2 ln 7 ) 0 ，444244所以 3m7.24由于 h(m)m2在37上是增函数，2m(,)24所以 h( m)h( 7 )49，44故 a49h(m).4