初二数学下册二次根式教案.doc

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1、第十六章 二次根式教案 教学目标： 1、理解二次根式的概念 2、理解（0）是一个非负数，（）2=（0），=（0）3、掌握（0，0），=； （0，0），（0，0） 4、了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减教学重点： 1二次根式（0）的内涵（0）是一个非负数；（）2（0）；=（0）及其运用 2二次根式乘除法的规定及其运用 3最简二次根式的概念 4二次根式的加减运算 教学难点： 1对（0）是一个非负数的理解；对等式（）2（0）及=（0）的理解及应用 2二次根式的乘法、除法的条件限制 3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 211 二次根式 第一课时 教学内容：二次根

2、式的概念及其运用 教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用（0）的意义解答具体题目 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题 教学重难点关键： 1重点：形如（0）的式子叫做二次根式的概念； 2难点与关键：利用“（0）”解决具体问题 教学过程一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是_问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，C=90，那么AB边的长是_ 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，） 问题2：由勾股定理得AB= 二、探

3、索新知 很明显、，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如（0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 （学生活动）议一议： 11有算术平方根吗？ 20的算术平方根是多少？ 3当0）、（x0，y0） 例2当x是多少时，在实数范围内有意义？ 三、应用拓展 例3当x是多少时，在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=，求的值(2)若，求的值四、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1形如（0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 第一课时作业设计 一、选择题 1下列式子中

4、，是二次根式的是（ ） A B C Dx 2下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D 3已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A5 B C D以上皆不对 二、填空题 1形如 的式子叫做二次根式 2面积为a的正方形的边长为 3负数 平方根 三、综合提高题 1某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2当x是多少时，在实数范围内有意义？ 3若+有意义，则=_ 4.使式子有意义的未知数x有（ ）个 A0 B1 C2 D无数 5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值 21.1 二次根式 第二课时教学内容

5、： 1（0）是一个非负数； 2（）2=（0）教学目标：理解（0）是一个非负数和（）2=（0），并利用它们进行计算和化简 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=（0）；最后运用结论严谨解题教学重难点关键：1重点：（0）是一个非负数；（）2=（0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出（0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=（0）教学过程：一、复习引入 1什么叫二次根式？ 2当0时，叫什么？当0 Ba0 Ca0 Da=0 二、填空题 1=_ 2已知有意义，那么它是一个_数 三、综合提高题1计算（1） （2） （3） （4）

6、 (5) 2把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x0）3已知+=0，求xy的值4在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 21.1 二次根式 第三课时教学内容： （0）教学目标：理解（0）并利用它进行计算和化简 通过具体数据的解答，探究（0），并利用这个结论解决具体问题教学重难点关键： 1重点：（0）；2难点：探究结论；3关键：讲清0时，才成立教学过程：一、复习引入 老师口述上两节课的重要内容； 1形如（0）的式子叫做二次根式； 2（0）是一个非负数； 3（0） 那么，我们猜想当0时，是否也成立呢？下面我们就来探究这个问

7、题 二、探究新知 （学生活动）填空： =_；=_；=_； =_；=_；=_ （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；= 因此，一般地： （0） 例1 化简（1） （2） （3） （4）三、应用拓展例2 填空：当0时，=_；当0时，=_，并根据这一性质回答下列问题（1） 若，则可以是什么数？（2） 若，则可以是什么数？（3），则可以是什么数？分析：（0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当0时，那么0 （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=，而

8、要大于，只有什么时候才能保证呢？2，化简四、归纳小结 本节课应掌握：（0）及其运用，同时理解当- C= 二、填空题 1=_2若是一个正整数，则正整数m的最小值是_ 三、综合提高题1先化简再求值：当=9时，求+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=+=+（1）=1； 乙的解答为：原式=+=+（1）=21=17 两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2若1995+=，求19952的值（提示：先由20000，判断1995的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3x2时，试化简x2+。212 二次根式的乘除 第一课时教学内容：（0，b0），反之=（0，b0）及其运用教学目标： 理解（0

9、，b0），=（0，b0），并利用它们进行计算和化简。 由具体数据，发现规律，导出（0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=（0，b0）并运用它进行解题和化简教学重难点关键： 重点：（0，b0），=（0，b0）及它们的运用 难点：发现规律，导出（0，b0） 关键：要讲清（0,b、0）,并验证你的结论212 二次根式的乘除 第二课时教学内容: （0，b0），反过来（0，b0）及利用它们进行计算和化简教学目标:理解（0，b0）和（0，b0）及利用它们进行运算 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键: 1重点：理

10、解（0，b0），（0，b0）及利用它们进行计算和化简 2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程;一、复习引入1写出二次根式的乘法规定及逆向等式2填空 （1）=_，=_；（2）=_，=_； （3）=_，=_；（4）=_，=_ 规律：_；_；_；_3利用计算器计算填空: （1）=_，（2）=_，（3）=_，（4）=_ 规律：_；_；_；_。二、探索新知 根据练习，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：（0，b0），反过来，（0，b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例1计算：（1） （2） （3） （4）例2化简： （1） （2） （3） （4） 三、巩固练习 教材P

11、14 练习1四、应用拓展 例3已知，且x为偶数，求的值五、归纳小结 本节课要掌握（0，b0）和（0，b0）及其运用第二课时作业设计一、选择题1计算的结果是（ ） A B C D2阅读下列运算过程：， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ） A2 B6 C D 二、填空题1分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_.2已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_三、综合提高题1有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2计算（1）（）（m0，n0）;

12、（2）-3（） （a0）21.2 二次根式的乘除 第三课时教学内容： 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键： 1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程： 一、复习引入1计算（1），（2），（3）2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_ 它们的比是二、探索新知 观察上面计算题1

13、的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式点评：不是 =.例1(1) ; (2) ; (3) 例2如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长AB2=AC2+BC2 三、巩固练习 教材P14 练习2、3四、应用拓展例3观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）

14、的值五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用六、布置作业 1教材P15 习题212 3、7、10 2选用课时作业设计； 3.课后作业:同步训练第三课时作业设；一、选择题1如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对2把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D-3在下列各式中，化简正确的是（ ）A=3 B= C=a2 D =x4化简的结果是（ ） A- B- C- D- 二、填空题 1化简=_（x0）2a化简二次根式号后的结果是_三、综合提高题1已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断

15、是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 解：-a=a-a=（a-1） 2若x、y为实数，且y=，求的值 21.3 二次根式的加减 第一课时教学内容：二次根式的加减教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简重难点关键： 1重点：二次根式化简为最简根式；2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学过程： 一、复习引入 学生活动：计算下列各式 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合

16、并同类项合并就是字母不变，系数相加减二、探索新知 学生活动：计算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+点评： 将根号当成字母（为x，为y，）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不同的，但它们可以合并吗？可以的（板书）3+=3+2=5； 3+=3+3=6所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并例1计算 （1）+ （2）+例2计算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 三、巩固练习 教材P19 练习1、2 四、应用拓展 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）（x25x）的值五

17、、归纳小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并六、布置作业 1教材P21 习题213 1、2、3、5；2选作课时作业设计；3.课后作业:同步训练第一课时作业设计一、选择题1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A3个 B2个 C1个 D0个二、填空题1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_2计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_三、综合提高题1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值 （6x+）-（4x+

18、），其中x=，y=2721.3 二次根式的加减 第二课时教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题教学目标：运用二次根式、化简解应用题 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题重难点关键： 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点教学过程：一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固二、探索新知 例1如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点

19、B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 例2要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？、三、巩固练习 教材P19 练习3四、应用拓展 例3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、布置作业 1教材P21 习题213 7 2选用课时作业设计 3.课后作业:同步训练 作业设计一、选择题1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）（结果用最简二次根式）

20、A5 B C2 D以上都不对2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米（结果同最简二次根式表示） A13 B C10 D5二、填空题1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_m（结果用最简二次根式）2已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式）三、综合提高题1若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那

21、么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （1）2=（）221+12=22+1=32； 反之，3-2=22+1=（1）2 3-2=（-1）2 ；=-1求：（1）； （2）；（3）你会算吗？（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由21.3 二次根式的加减 第三课时教学内容： 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用教学目标： 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除

22、、乘方等运算重难点关键： 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；教学过程：一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1计算 （1）（2x+y）zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1）单项式单项式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代

23、表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例1计算: （1）（+） （2）（43）2 例2计算 （1）（+6）（3） （2）（+）（）三、巩固练习 课本P20练习1、2四、应用拓展例3已知=2，其中a、b是实数，且a+b0，化简+，并求值 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 1教材P21 习题213 1、8、9 2选用课时作业设计 3.课后作业:同步训练作业设计一、选择题 1（-3+2）的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2计算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1二、填空题 1（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是_ 2（1-2）

24、（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若x=-1，则x2+2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_三、综合提高题 1化简 2当x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示）课外知识 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A与 B与C与 D与 2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+

25、1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式 练习：+的有理化因式是_； X的有理化因式是_ 的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的 练习：把下列各式的分母有理化 （1）； （2）； （3）； （4） 4其它材料：如果n是任意正整数，那么=n 理由：=n 练习：填空=_；=_；=_二次根式复习课教学目标：1使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算教学重点和难点：重点：含二次根式的式子的混合运算难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计

26、算含二次根式的式子教学过程设计：一、复习1请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式2二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化3在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 、x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个

27、二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零解：因为n2-90，9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以例3、 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a0和1-a0解 因为1-a0，3-a0，所以a1，|a-2|2-a(a-1)(a-3)=-(1-a)-(3-a)=(1-a)(3-a)0这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的问：上

28、面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算解注意：例6、分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷a+b2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)4(n+2)， 三、课堂练习1选择题：Aa2Ba2 Ca2Da2Ax+2 B-x-2 C-x+2Dx-2A2x B2a C-2xD-2a2填空题：4计算：四、小结1本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握2在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围3运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件4通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题五、作业1x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2把下列各式化成最简二次根式：- 26 -