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1、2.2 30，45，60角的三角函数值教学目标(一)教学知识点1. 经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进 一步体会三角函数的意义.2. 能够进行 30、45、60角的三角函数值的计算.3. 能够根据 30、45、60的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1. 经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、 发现的能力.2. 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点
2、1. 探索 30、45、60角的三角函数值.2. 能够进行含 30、45、60角的三角函数值的计算.3. 比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺、多媒体演示教学过程.创设问题情境，引入新课问题为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含 30和 60两个 锐角的三角尺；皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)1 / 82 2 2生我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置 B 处，使这位同学拿起三角尺， 她的视线恰好和斜边重合且过树梢 C 点，30的邻边和水
3、平方向平行，用卷尺测 出 AB 的长度，BE 的长度，因为 DE=AB，所以只需在 RtCDA 中求出 CD 的 长度即可.生在 ACD 中，CAD30，ADBE，BE 是已知的，设 BE=a 米， 则 ADa 米，如何求 CD 呢?生含 30角的直角三角形有一个非常重要的性质：30的角所对的边等于斜 边的一半，即 AC2CD，根据勾股定理，(2CD) CD +a .3CD a.则树的高度即可求出.3师我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正 切 、 正 弦 、 余 弦值 也随 之 确 定 ， 如 果能 求出 30 的 正 切 值 ，在上 图 中 ，tan30=CD CD
4、AD a，则 CD=atan30，岂不简单.你能求出 30角的三个三角函数值吗?.讲授新课1.探索 30、45、60角的三角函数值.师观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 生一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30、60、45、45. 师sin30等于多少呢? 你是怎样得到的? 与同伴交流.1生sin30 .2sin30表示在直角三角形中，30角的对边与2 / 8斜边的比值，与直角三角形的大小无关 .我们不妨设 30角所对的边为 a(如图所 示) ，根据 “ 直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半 ”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知 30角的邻边为 a，所以 si
5、n30 师cos30等于多少?tan30 呢?a 1= .2a 2生cos303a 3= .2a 2tan30=a 1 3= =3a 3 3师我们求出了 30角的三个三角函数值，还有两个特殊角 45、60， 它们的三角函数值分别是多少? 你是如何得到的?生求 60的三角函数值可以利用求 30角三角函数值的三角形.因为 30角的对边和邻边分别是 60角的邻边和对边.利用上图，很容易求得 sin60=3a 3= ,2a 2cos60=a 1 3a= , tan60 = 3 . 2a 2 a生也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦， 一 锐 角 的 余 弦 等 于 它 余 角
6、的 正 弦 . 可 知 sin60 cos(90 60) cos30=321cos60=sin(9060)=sin30= .2师生共析我们一同来求 45角的三角函数值.含 45角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一条直角边为 a，则另一条直角边也为 a，斜边 2 a.由此可求得sin45=cos45a 1 2= = ,2 a 2 2a 1 2= = ,2 a 2 2atan45= =1a师下面请同学们完成下表(用多媒体演示)3 / 82230、45、60角的三角函数值 三角函数角sin co tan3045601222323222123313这个表格中的 30、45、60角的三角函
7、数值需熟记，另一方面，要能够根 据 30、45、60角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点 .先看第一列 30、45、 60角的正弦值，你能发现什么规律呢?生30、45、60角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为 1 ， 2 ， 3 ，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.师再来看第二列函数值，有何特点呢?生第二列是 30，45、60角的余弦值，它们的分母也都是 2，而分子从大 到小分别为 3 ， 2 ， 1 ，余弦值随角度的增大而减小.师第三列呢?生第三列是 30、45、60角的正切值，首先 45角是等腰直角三角形中的 一个锐角，所以 tan45=
8、1 比较特殊.师很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下 对 30、45、60角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.2.例题讲解(多媒体演示)例 1计算：(1) sin30+cos45；(2) sin 60+ sin 30tan45.4 / 822分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用 特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值.1 2 1 + 2解：(1)sin30+cos45= + =2 2 2(2) sin 60+ sin 30tan45,= (3 1 3 1) 2 +( ) 2 -1 = + -1 =0 . 2 2 4 4
9、例 2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆 角恰好为 60，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置 时的高度之差.(结果精确到 0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学 问题的能力.解：根据题意(如图)可知，BOD=60，OB=OAOD=2.5 m，AOD126030，OC=ODcos30=2.5322.165(m).AC2.52.1650.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m. .随堂练习多媒体演示1.计算：(1) sin60tan45 ；(2) cos60+tan60；(3)2
10、2sin45+sin602cos45.5 / 87 7解：(1)原式3 3 -21= ；2 2(2) 原式=(3) 原式=1 1 +2 3+ 3 =2 22 2 3 1 + 3 -2 2 + 2 =2 2 2 22.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30.高为 7 m，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为 = =14(m)，sin 30 12所以扶梯的长度为 14 m.课时小结本节课总结如下：(1)探索 30、45、60角的三角函数值.sin30122 3 ，sin45 ，sin60 ；2 2cos3032，cos45221，cos60 ；2tan30=33，tan451，tan60= 3 .(
11、2) 能进行含 30、45、60角的三角函数值的计算.(3) 能根据 30、45、60角的三角函数值，说出相应锐角的大小.课后作业习题 2.3 第 1、2、3 题.活动与探究(2003 年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 ABCD=30 m，两楼问 的距离 AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹 角为 30时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到 0.1 m， 2 1.41， 3 1.73)6 / 8过程根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶 E，直射到乙 楼 D 点，D 点向下便接受不到光线，过 D 作 DB AE(甲楼).在 RtBDE 中.
12、BD=AC 24 m，EDB30.可求出 BE，由于甲、乙楼一样高，所以 DF=BE.结果在 KtBDE 中，BE=DBtan302433=8 3 m.DFBE，DF=8 3 81.7313.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高 CD=3013.8416.2(m).板书设计2.2 30、45、60角的三角函数值一、探索 30、45、60的三角函数值 1.预备知识：含 30的直角三角形中，30 角的对边等于斜边的一半.含 45的直角三角形是等腰直角三角形.2.30，45，60角的三角函数值列表如下：三角函数角角 sin co tan3045601222323222123313二、含 30、45、60角的三角函数值的计算. 三、实际应用备课资料参考练习7 / 80101.计算：1 2- . sin 30 3 +1答案：3 32.汁算：( 2 +1)1+2sin30 8答案： 213.计算：(1+ 2 ) 1sin301+( ) .2答案：524.计算：sin60+1 1 -tan 60答案：125.计算；23( 2003 +)cos6011 - 2.3答案： + 2 88 / 8