《三角函数及三角恒等变换(2).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数及三角恒等变换(2).docx（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 04 讲 三角函数及三角恒等变换温故知新课堂导入三角学的起源三角学之英文名称Trigonometry，约定名于公元1600 年。它是以研究三角形边和角的关系，应用测量及三角函数的一门学科。三角学之父希帕霍斯公元前 2 世纪后希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的弦表他成为西方三角学的最早奠基者。中国三角的由来1631 西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启合编的大测为代表1653 年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编三角算法，以三角取代大测，确立了三角名称。【本节内容知识结构网络】应用弧长与扇同角三角函数诱 导计算与化简形面积公的基本关系式
2、公式证明恒等式任 意 角角度制与任意角的三角函数已知三角的概念弧度制三角函数的图象与函数值求应用应用和角公式倍角公式应用应用差角公式知识要点一三角函数概念、性质和图像1、与角终边相同的角的集合为k360, k2、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr3、弧度制与角度制的换算公式：2360，1， 118057.31804、若扇形的圆心角为为 弧 度 制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C，面积为 S ，则lr， C2 rl ， S1 lr1r 2 5、同角三角函数的基本关系：221sin 2cos 21sin21 cos2, cos21 sin2；;2sin
3、tansintancos, cossincostan6、三角函数的诱导公式：1sin2 ksin， cos2 kcos， tan2ktank2sinsin， coscos， tantan3sinsin， coscos， tantan4sinsin， coscos，tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5sincos， cossin226sincos， cossin22口诀：奇变偶不变，符号看象限7、图像变换8、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：ysin xycos xy tan x图象定义R R x x k , k 2域值域1,11,1R周期性22奇偶性奇偶奇单调性在 2 k, 2
4、k在 2 k,2 kk22k上是增函数；在k上是增函数；在单调性2 k32k, 2kk, k2, 2 k222k上是减函数k上是减函数k上是增函数对对称中心k , 0k对称中心k, 0 kk, 0 k22称对称轴 xkk对称轴 xkk无对称轴2性典例分析例 1已知 是第二象限角， sin 5 ，则 cos ()13125512A 13B 13C13D 13例 2将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 , 若的图象都经过点, 则的值可以是（）ABCD例 3 若函数 y sin( x)( 0)的部分图像如图，则 ()A5B4C3D 2例 4（ 2016 年全国 I 高考）已知函数 f (
5、x)sin( x +)(0，), x为 f ( x ) 的24零点， xf ( x) 图像的对称轴，且f ( x) 5的最大值为为 y在 (， ) 单调，则41836（）A11B9C7D5例 5 已知函数 f ( x) A sin( x)(A 0,0, |) 的图象在 y 轴上的截距为 1，它在 y2轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0,2 ）和（ x 03,2）（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1（纵坐标不变） ，然后再将所得图象向3x 轴正方向平移个单位，得到函数y=g(x)的图象写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图3的
6、方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象例 6 已知 tan2 , 求: (1) tan() 的值;6 sincos(2)的值243 sin2 cos学霸说根据三角函数的图像、 性质和有关公式进行系统的求解， 试题的变化往往在于性质和公式的灵活使用，切记！举一反三1若函数f ( x ) 同时满足下列三个性质：最小正周期为； 图像关于直线 x对3称； 在区间, 上是增函数。则 yf ( x )的解析式可以是（）63A ysin( 2 x)B yx)sin(626C ycos( 2 x)Dycos( 2 x)632若 tan 2，则 sincos的值为 ()sincosA 15153B
7、 3C 3D 33函数f ( x )A sin(x)1 ( A0,0 ) 的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之6间的距离为,2(1) 求函数 f ( x ) 的解析式 ;(2) 设(0,) , 则,求的值24 已知角 A、 B、C 为 ABC 的三个内角， OM (sinB cosB，cosC)，ON (sinC，sinB1cosB)，OM ON5(1)求 tan2A 的值；2A2cos 2 3sinA 1(2)求的值2sin A4知识要点二三角恒等变换公式9、两角和与差的公式： coscoscossinsin； coscoscossinsin； sinsincoscossin ； sinsi
8、ncoscossin； tantantan（ tantantan1tantan）；1 tantan tantantan（ tantantan1tantan）1 tantan10、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22 sin cos cos 2222122cos 21cossin2 cos1 2sin（ cos2，2 1 cos 2sin）2 tan 22 tan21 tan11、公式的变形：tantantan()1tantan，cos1cos； tan1cossin1cos2221cos1cossin12、辅助角公式sincos22，其中 tansin13、角的变换 :在三角化简、求值
9、、证明中,表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换 ,沟通条件与结论中的差异, 使问题获解对角的变形如下:154530604530,()()() ,2222() ()()() ,(4)4442典例分析例 1 函数 f(x) sin x cos x 3()2 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是A ， 1B ，2C 2， 1D 2， 2例 2 设 sin 2sin,(,) , 则 tan 2的值是 _2例 3已知 tan(2)3) (), tan(, 那么 tan(54224113113A B CD 518422例42 cos 40cos 10
10、1 tan 60 tan101cos 10例 5 函数 f ( x )cos 2 x 6 cos(）x ) 的最大值为（2A 4B 5C6D 7例 63tan12 3 _2 2 sin124cos 12例 7 已知函数f( x) 2cos x6 (其中 0，x R )的最小正周期为10(1)求 的值；(2)设 ， 0， f 556， f 5516，求 cos( )的值235617举一反三1函数 ysin 2x sinxcosx 的最小正周期 T ()A 2B C2D 32已知 a (cosx，sinx)，b (sinx，cosx) ，记 f(x) ab，要得到函数44y sinx cos x
11、的图象，只需将函数 y f(x) 的图象 ()B向左平移A 向左平移 2个单位长度4个单位长度D向右平移C向右平移个单位长度个单位长度243 已知 )，则 (1 tan)(1 tan)的值是 (4A 1B 1C 2D 43 2cos2 sin 124 已知 tan2 4(2)，求 的值2cos 45 设向量 a (sinx,1) ，b (1， cosx)，记 f(x) ab， f (x)是 f(x)的导函数(1)求函数 F( x) f(x)f (x) f 2(x)的最大值和最小正周期；12sin2x(2)若 f(x) 2f (x)，求2的值cos x sinxcosx课堂闯关初出茅庐建议用时：
12、 10 分钟1 是第四象限角， cos12，则 sin=（）13A 555513B -CD -131212函数f ( x)2 sin( x)(0,)的部分图象如图所示, 则,222值分别是（）A 2,B 2,C4,D 4,36633 若 sin3 ， 则 cos（）232B 112A 3CD3334 已知 sin 22，则 cos 2 ()（）34A 111D26BC3325)1（）5 已知 sin(, 那么 cos25A 2B11D 255C556将函数 y3 cos xsin x ( xR ) 的图象向左平移 m (m0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 (
13、)A BD 5 126C367 设R ,则“= 0 ”是“ f (x)= cos (x +) (x R ) 为偶函数”的（）A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8. 函数 f ( x )sin(2 x) 的最小正周期为 _4优学学霸建议用时： 15 分钟1已知 ( , )， sin3)等于（= ,则 tan(）2541B 7C1A D 7772 (cossin)(cossin) （）12121212A 31132BCD2223若cos 22 ，则 cossin的值为（）sin24A 7B 11722CD224 已知,均为锐角，且 cos()sin(), 则
14、 tan5已知 sincos1，且 3，则 cos 2的值是_ 5246 在平面直角坐标系中，已知两点A (cos 80, sin 80 ), B (cos 20, sin 20 ) ，则 |AB| 的值是（）A 1B2C3D 122215sin(), 求4的值7 已知 为第二象限角，且 sin =cos 214sin 2考场直播1【 2016 年全国 II卷高考】函数 y = A sin( x) 的部分图像如图所示，则（）A y2 sin(2x)B y2 sin(2 x)63C y2 sin(2x+)D y2 sin(2 x +)632【 2016 年全国 III 卷高考】若 tan1，则
15、cos 2（）34114A BCD 55553 【2016 年全国 III 卷高考】函数 y sin x3 cos x 的图像可由函数 y2 sin x 的图像至少向右平移 _个单位长度得到4【 2012 年高考（广东理） 】( 三角函数 )已知函数fx2 cosx(其中0 xR )6的最小正周期为10( )求的值 ;( )设、0,56516的值, f 5, f 56,求 cos23517套路揭密：三角函数内容更多在诱导公式和恒等变换实际运用，掌握公式的同时一定要观察这些的公式的联系，同时注意符号的取值。弧长公式中圆心角为弧度制弧长公式中圆心角为弧度制自我挑战建议用时： 30 分钟1为了得到函数ysin(2 xsin 2 x 的图象上所有的点 （）) 的图象，只需把函数 y3A 向左平行移动B向右平行移动个单位长度个单位长度33C 向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度662 若 tan322 sin 2（），则 cos464B 48C 116A D 2525253oooosin 20cos10cos160 sin10=( )33C11A B2D2224 在平面直角坐标系22，nsin x ,cos x ，x0,xoy 中，已知向量 m,222（ 1）若 mn ，求 tan x的值；（ 2）若 m 与 n 的夹角为，求 x 的值3