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1、含排列数与二项式系数的线性微分方程第23卷第3期2005年6月青海大学(自然科学版)JournalofQirchUniversity(NatureScience)Vo1.23N0.3Jim.2005含排列数与二项式系数的线性微分方程孙长军(连云港职业技术学院,江苏连云港222OO6)摘要:通过将含有排列数与二项式系数的线性微分方程化为可逐次积分的微分方程,从而得到此类方程的解法,对定理进行了证明,并通过实例介绍了它的应用.关键词:排列数;二项式系数;逐次积分;线性微分方程中图分类号:0175.6文献标识码:A文章编号:l(X)68996(2005)03006903Solutionoftheli
2、neardifferentialequationcontainingarrangementnumberandbinomialcoefficientSUNChangjun(LianyungangTechnicalCollege,Lianytmgang222006,China)Abstract:Bywansfonningthelineardifferentialequationwitharrangementnumberandbinomialcoefficientsintothelineardifferentialequationofsuccessiveintegral,thetheoryandme
3、thodforthegeneralSOlufionofthiskindofequationaredetermined.Thetheoremobtainedinthispaperisprovedstrictlyandtheapplicationisintroducedthroughexamples.Keywords:arrangementnumber;coefficientofbinomial;succesiveintegral;lineardifferentialequafion笔者曾着文解决了线性微分方程xy+ny一=厂()的解法问题川,即将该方程化为()n)=/(),然后逐次积分得到该方程
4、的通解为:Y=1儿l.?I厂()dx.?dxdx(积分符号共凡个).现将xy+ny=厂()进行推广,研究昱c一iy(n=厂()这类方程的解法.1定理与证明微分方程c一iy一=厂()是凡阶线性微分方程(约定),(.)=Y,c(i=1,2,n)为二项式系数,为排列数,并约定当>m时,=0,po=1),亦即方程:当m几时,方程为:+pl*-1m一Y一+p2C2r,Xm-2Yn一2+?+PGm),(n一)+Pmnntrt一=()当rn<凡时,由于约定当i>m时,=0,po=1方程为:xy+Plmcm一Y+p2.-,2,m-2Yn一2+Pmiimiy(n一)+Pcnm)=,(),该方程
5、用求和符号可写为c一=(),由于约定当i>m时=0,po=1,方程仍然可以写为:rii一一)=厂()所以m与n不论谁大谁小,两种情况都统一用.芝c一iy(n一)=厂()来表示.引理i乙i一iy(一)=()n收稿日期:20041019作者简介:孙长军(1963一),男,江苏东海人,副教授.研究方向:线性微分方程.70青海大学第23卷证明用数学归纳法证之.1)当n=l时,左边=P+P11.x,mI1Y(.)=xmy+_.Y,右边=()=一Y+,左边=右边,所以n=1时等式成立.2)假设n=k等式成立,即c一一)=()则当n=+1时,对上式两边求导数得:妻P(m)c一卜),+妻Pc一)=()k
6、+1)由(m)=P得:LL妻P0cI1),一+妻c一一1)=()+)k+lPcm一一f+1)+垄Pcmiy(k-i+1):(,)+1)耋Pc一一D+Pc铷一Y+壹c一一+)+pcday(k+1):(,)+1)注意:=co+1,Cl=:1,c+cI=c+1可得:+1+1耋(c+c1)一)+t-,k+11一(+1),(0):(y)+1)+1+1c+1一卜+Pck+1m+1),(0):()即cl+1一(卜)=()k+1)亦即当n=k+1时等式成立.综合1),2)可得对任意自然数n等式成立.定理n阶线性微分方程c一n=)的通解为:Y=一III厂()d.dd(积分符号共儿个).证明由引理可知原方程可化为
7、:()()=)然后通过逐次积分即可得证.注:定理中的m与n不论谁大谁小定理都成立.当mn时,方程为:n+p1I,1m一),(n一1)+p2c2.,xm-2y一+c一iyn一+Pnn一n),=)方程左边共n+1项,结论成立;当m<n时,由于约定i>m时,=0方程为:+P11m一,(n一)+Pcm-2y(n一2)+.+c一+P,C,Ty(n一=)方程左边共m+l项,不过不影响结论的成立.当m:n时,方程变为:+p1一i-,1n-1Y一+P22n-2yn一+Piiiy(n+Pnn:厂()不影响结论的成立.如当m=3时,有下列推论:推论1n阶线性微分方程x3y+3nxY一+3n(n一1)x
8、yn一+n(n一1)(n一2),(n-3):厂()的通解为:),:lf(x)dxdd(积分符号共n个)2.推论2n阶线性齐次微分方妻c一iy(n-i)=o的通解为:),=一mnc一证明原方程即为()n)=O,两边逐次积分可得3:()n=c1;()n一2=c1+C2;()n一3)=吉c12+c2+c3()_1uC1X3+1c2+c3+c4一=C1xn-1+c:+cn一+cn,所求通解为),=一苣n第3期孙长军:含排列数与二项式系数的线性微分方程712应用与举例例1求微分方程y(+20xy,-+120x+24oY+120xy=3x的通解.解原方程可化为:()+P;C14x+p2C2x,+P;ciY
9、+C,xy=3x即(y)=3x2,两边逐次积分得:(5,)=3+C1;(5,)=14+C1+C2(5,)=5+1c12+c2+C3;x5,=16+1c13+1c22+c3+c4所求微分方程通解为:,=+吉c1+专c2+C3+C4例2求微分方程X3y(5)+15xY()+6OxC+6o:=(+5)的通解.解原方程可化为:X3Y()+P3ClxY(p2/,2Hp+P;c;,/=(+5)即(y)=,两边逐次积分得:(X3Y)(4)=(+4)e+C1;(X3y)=(+3)e+C1+C2(3,)=(+2)+1C12+c2+c3;(3,)=(+1)+1C13+专c22+c3+C4,=船+c1+吉c2+c3
10、+C4+C5所求微分方程通解为:,=X-2eX+c1+吉c2+专c3-1+C4+C5-3参考文献:1孙长军.一类可化为逐次积分的n阶线性微分方程的解法J.河北理工大学,2O04,(3):7980.2孙长军,李焕茜.完全立方型三次函数为系数的线性微分方程的解法J.喀什师范学院,2O04,25(3):911.3孙长军.负二次幂函数与排列数的交错级数型线性微分方程J.山东理工大学(自然科学版),2O04,25(5):8589.(上接第68页)4苗军.早期断奶仔猪的营养调控J.饲料工业,1999,20(3):16-28.5时兴义.应用高蛋白料精饲喂育肥猪的效果J.青海畜牧兽医杂志,1996,26(4):266程庆华.高蛋白料精替代鱼粉的应用研究J.西北农业,1997,6(3):26.28.7解洪业.生物技术在养殖业中的应用及发展J.中国饲料,1996,(16):10-12.(责任编辑唐宏伟)