上海高中数学——知识点总结.docx

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1、上海高中数学知识点总结一、集合与常用逻辑1集合概念元素：互异性、无序性2集合运算全集 U：如 U=R交集： AB x xA且xB并集： AB x xA或xB补集： CU A x xU且xA3集合关系空集A子集 AB : 任意 xAxBABAABABBAB注：数形结合 - 文氏图、数轴4四种命题原命题：若p 则 q逆命题：若q 则 p否命题：若p 则q逆否命题：若q 则p原命题逆否命题否命题逆命题5充分必要条件p 是 q 的充分条件：Pqp 是 q 的必要条件：Pqp 是 q 的充要条件： p? q6复合命题的真值 q 真（假） ? “ q ”假（真）p、 q 同真 ? “ pq”真 p、 q

2、都假 ? “ pq”假7. 全称命题、存在性命题的否定M, p(x ）否定为 :M,p( X )M, p(x ）否定为 :M,p( X )二、不等式1一元二次不等式解法若 a0 ， ax2bx c0 有两实根, () ，则ax 2bxc0解集 (,)ax 2bxc 0解集 (,)(,)注：若 a0，转化为 a0 情况2其它不等式解法转化xaaxax2a2xaxa 或 xax2a 2f ( x)0f ( x) g( x)0g ( x)a f ( x)a g ( x)f (x)g( x) （ a1）log af (x)loga g( x)f ( x)00（）f ( x)g( x)a 13基本不等式

3、 a 2b 22ababab若 a, b R ，则22 ab 、 ab ( ab )2注：用均值不等式 ab2求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1奇偶性f(x)偶函数f (x)f (x)f(x)图象关于 y 轴对称f(x)奇函数f (x)f ( x)f(x)图象关于原点对称注： f(x)有奇偶性定义域关于原点对称f(x)奇函数 , 在 x=0 有定义f(0)=0“奇 +奇=奇”（公共定义域内）2单调性f(x) 增函数：或x1 x2 x1 x2f(xf(x1) f(x2)1) f(x2)或 f ( x1 )f ( x2 )0x1x2f(x) 减函数：？注：判断单调性必须考虑定义域

4、f(x) 单调性判断定义法、图象法、性质法“增 +增 =增”奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3周期性T 是 f (x) 周期f (x T) f (x) 恒成立（常数 T0 ）4二次函数解析式： f(x)=ax22+bx+c， f(x)=a(x-h)+kf(x)=a(x-x1)(x-x 2)对称轴： xb顶点： (b, 4 acb 2)2a2 a4 a单调性： a0， (b递减， b,)递增,2 a2 a当 xb4 acb 2， f(x) min4 a2a奇偶性： f(x)=ax2+bx+c 是偶函数b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法-注意对称轴与区间的位置关系注

5、：一次函数 f(x)=ax+b 奇函数b=0四、基本初等函数1n1指数式a 01(a0)a na mm a nan2对数式logaNba bN （ a0,a 1）log a MNlog a M log a Nlog a Mlog a Mlog a NNlog a M nn loga Mlogm blg blog a blg alogm alog a b log a n bn1log b a注：性质 log a 10log a a 1a log a NN常用对数 lg Nlog 10 N ， lg 2lg 5 1自然对数 ln Nlog e N ， ln e13指数与对数函数y=ax 与 y=l

6、og ax定义域、值域、过定点、单调性？注： y=ax 与 y=log ax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）14幂函数y x2, y x3, y x2, y x 1y x 在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1 描1010点法函数化简定义域讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2 图象变换平移：“左加右减，上正下负”yf ( x)yf ( xh)伸缩： yf ( x)每一点的横坐标变为原来的y f ( 1x)倍对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”yf (x)x轴yf (x)yf (x)y轴yf ( x)yf (x)原点yf ( x)注： y f (x)直线xayf (2ax

7、)翻折： yf (x)y| f ( x) | 保留 x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方yy=f(x)aobcxayoy=|f(x)|bcxyf (x)yf (| x |) 保留 y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边yyy=f(x)aobcxao3零点定理若 f ( a) f (b)0 ，则 yf ( x) 在 (a,b) 内有零点y=f(|x|)bcx（条件：f ( x) 在 a, b 上图象连续不间断）注：f ( x) 零点： f ( x)0 的实根在 a, b 上连续的单调函数f ( x) ， f ( a) f (b)0则 f ( x) 在 ( a, b) 上有且仅有

8、一个零点二分法判断函数零点-f (a) f (b)0 ？六、三角函数1概念第二象限角 ( 2k,2k) ( kZ )22弧长lr扇形面积 S1 lr23定义sinyxtanycosrxr其中 P( x, y) 是终边上一点， POr4符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”如 Sin(2)sin， cos(/ 2 )sin6特殊角的三角函数值0643sin0123222cos1321222tg031337基本公式同角 sin 2cos21sintancos322101010/0/和差 sinsincoscossincoscoscossinsintantan

9、tan1tan tan倍角 sin 22sincoscos222222 tancossin2cos1 1 2sintan 221 cos 21 tan降幂 cos 2 =sin2 = 1cos222叠加 sincos2 sin()43 sincos2sin()6a sinb cosa2b2 sin()(tana )b8三角函数的图象性质y=sinxy=cosxy=tanx图象单调性：( ,)增(0, )减( ,)增2 22 2sinxcosxtanx值域-1 ， 1-1 ， 1无奇偶奇函数偶函数奇函数周期22对称轴xk/ 2xk无中心k,0/ 2k ,0k / 2,0注： k Z9解三角形基本

10、关系 ： sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanCsin ABcos C22正弦定理 ：a=b=csin Asin Bsin Ca 2R sin Aa : b : cs i nA : s i nB : s i nC余弦定理 ： a2=b2+c2 2bccosA（求边）cosA= b 2c 2a 2（求角）2bc面积公式 ：S 1absinC2ABsin Asin B注： ABC 中， A+B+C=？222? Aa b+c2七、数列1、等差数列定义 ： a n 1 通项 ： a n求和 ： Sna nda1(n1)dn(a1an )12na1n(n 1)

11、d2a c中项 ： b（ a,b, c成等差）2性质 ：若 mn p q ，则 am ana p aq2、等比数列定义 ： an 1q(q 0)an通项 ： ana1qn 1na1(q1)求和 ： Sna1 (1q n )1)1( qq中项 ： b2ac （ a, b, c成等比）性质 ：若 mn p q则 am ana p aq3、数列通项与前n 项和的关系ans1a1 (n1)snsn 1 (n2)4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1向量 加减三角形法则，平行四边形法则ABBCAC 首尾相接， OB OC = CB 共始点中点公式： ABAC2 ADD是

12、BC中点2 向量 数量积aabcosy1 y2b = x1 x2注： a , b 夹角： 00 1800 a, b 同向：abab3 基本定理a1 e12 e2 （ e1 ,e2 不共线 - 基底）平行： a / babx1 y2x2 y1 （ b0 ）垂直： aba b0x xyy20121模： a x 2y 22(a b ) 2a b夹角： cosa b| a |b |注： 0 aa bcabc （结合律）不成立 a ba cbc （消去律）不成立九、复数与推理证明1复数概念复数： zabi (a,bR) ，实部 a、虚部 b分类：实数（ b 0 ），虚数（ b 0 ），复数集 C注： z

13、 是纯虚数a0 ， b 0相等：实、虚部分别相等共轭： zabi模： za2b2z z2z复平面 ：复数 z 对应的点 (a,b)2复数运算加减：（ a+bi ） (c+di)=？乘法：（ a+bi ）（ c+di ） =？除法： abi= (abi )(cdi ) =cdi(cdi )(cdi )乘方： i 21 ， i ni 4 k ri r3合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题小前题结论）4直接与间接证明综合法 ：由因导果比较法 ：作差变形判断结论反证法 ：反设推理矛盾结论分析法 ：执果索因分析法书写格式：要证 A 为真，只要证B 为真，即证 ，这只要证

14、C 为真，而已知C 为真，故A 必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5数学归纳法：(1) 验证 当 n=1 时命题成立 ,(2) 假设 当 n=k(kN*， k1) 时命题成立,证明 当 n=k+1 时命题也成立由 (1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可 ，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围 0,斜率 ky2y1tanx1x2注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为 90 时，斜率不存在2、直线方程点斜式 yy0k ( xx0 ) ，斜截式 y kxb两点式 yy1xx1 ，截距式 xy1y2y1x2x1ab一般式 Ax

15、ByC0注意适用范围：不含直线xx0不含垂直x 轴的直线不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系 （注意条件）平行k1k2 且 b1b2垂直k1k21垂直A1A2 B1B2 04、距离公式两点间距离： |AB|=(x1x2 )2( y1y2 )2点到直线距离： dAx0 By0CA2B25、圆标准方程： ( x a) 2( yb) 2r 2圆心 ( a , b ) ，半径 r圆一般方程 ： x2y2DxEyF0（条件是？）圆心D , E半径 rD 2E 24F2226、直线与圆 位置关系位置关系相切相交相离几何特征rd rd rd代数特征 0 0 0注：点与圆位置关系 ( x0a)2(y0b)

16、2r 2点 P x0 , y0在圆外7、直线截圆所得 弦长AB2r 2d2十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a|F1F2|)双曲线 ： |PF 1|-|PF 2|= 2a(02ab0)a 2b2双曲线 x2y 21(a0,b0)a2b2中心原点对称轴？焦点 F (c,0) 、 F (-c,0)12顶点 :椭圆 ( a,0),(0, b) ，双曲线 ( a,0)范围 :椭圆 -a x a,-b y b双曲线 |x|a ， y R焦距：椭圆2c（ c=a2 b2 ）双曲线 2c（ c=a2b2 ）2a、 2b: 椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率： e=c/

17、a椭圆 0e1注：双曲线 x2y 21渐近线 yb xa2b2a方程 mx2ny2方程 mx2ny2抛物线 y2=2px(p0) 顶点（原点）开口（向右）1表示椭圆m0,n0.mn1表示双曲线mn0对称轴（ x 轴）范围 x 0离心率 e=1焦点 F ( p ,0)准线 xp22十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一程序框图程序框名称功能起止框起始和结束输入和输出的信息输入、输出框赋值、计算处理框判断某一条件是否成立判断框循环框重复操作以及运算二基本算法语句及格式1 输入语句 ： INPUT “提示内容” ；变量2 输出语句 ： PRINT“提示内容” ；表达式3 赋值语句 ：变量 =表达

18、式4 条件语句“ IF THEN ELSE”语句“ IF THEN”语句IF条件 THENIF条件 THEN语句1语句ELSEEND IF语句 2END IF5 循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE条件DO循环体循环体WENDLOOP UNTIL条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a nxn+a n-1xn-1+.+a1x+a0 的求值秦九韶算法： v1=anx+an 1v2=v1 x+an 2v3=v 2x+an 3vn=v n 1x+a0注：递推公式v0=anvk=

19、vk 1X +ank(k=1,2,n)求 f(x) 值，乘法、加法均最多n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：a n an 1 .a1a0 (k ) an k nan 1 k n 1 .a1 k a0十进制数转换成 k 进制数：“除 k 取余法”例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3例 2 已知 f(x)=2x 5 5x4 4x3+3x2 6x+7，秦九韶算法求 f(5) 123248 27 v 0=248127 21v1=2 55=527 121 6v2=5 5 4=212136 3v=21 5+3=1083623+0v4=1085 6=534v5=534 5

20、+7=2677十三、立体几何1三视图正视图、侧视图、俯视图2直观图：斜二测画法 0X OY=45平行 X 轴的线段，保平行和长度平行 Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半3体积与侧面积V柱 =S 底 hV锥 = 1 S 底 hV球 = 43 R33S圆锥侧 = rlS圆台侧 = (Rr )lS 球表=4 R24公理与推论确定一个平面的条件：不共线的三点一条直线和这直线外一点两相交直线两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。5两直线位置关系相交、平行、异面异面直线 不同在 任何一个平面内6直线和平面位置关系aaAa /7平行的判

21、定与性质线面平行 ：a b ， b,aa aa ，a,ba bb面面平行 ：AB ，AC平面 ABC ， aa8垂直的判定与性质线面垂直 ：pAB, pACp面 ABC面面垂直 ： a, a如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直；若两个平面垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直三垂线定理 ：PO, AOaPAaPO, PAaAOaPOAa在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？9空间角、距离的计算异面直线所成的角范围（ 0， 90 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角范围 0 ， 90定义法：

22、找直线在平面内射影，转为解三角形二面角范围 0 ， 180 定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离体积法 - 用三棱锥体积公式注：计算过程， “一作二证三求” ，都要写出10立体几何中的向量解法法向量求法 ：设平面 ABC的法向量 n =（ x,y ）nAB, nACBnAB 0,nAAC 0C解方程组，得一个法向量n线线角： 设 n1, n2 是异面直线 l1 , l 2 的方向向量，l1 , l2 所成的角为，则 coscos n1 , n2即l1,l 2 所成的角等于 n1 ,n2或1n , n2线面角：设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，AB 与平面所成的角

23、为，则 sincos n, ABAB nAB n二面角：设 n1 ,n2 是面,的法向量，二面角l的大小为，则 coscosn1 , n2或cosn1 ,n2即二面角大小等于n1, n2或n1, n2点到面距离：若 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线段，且B，ABn则点 A 到平面的距离 dn十四、计数原理1. 计数原理加法分类 ，乘法分步2排列组合差异 - 排列有序 而组合无序m= n(n1)(nm1) =n！公式 An(n m)！mn( n1)(nm1)n！Cn=2m=m)！1m！( n关系： Anmm！Cnm性质： Cnm =C nn mCn0Cn1Cn2Cnn2n3排列组合应用

24、题原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般解法：相邻问题“捆绑法” ，不相邻“插空法”复杂问题“排除法”4二项式定理(a b)n Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2Cnran r brCnnbn特例 (1 x) n1 Cn1 xCnr xrxn通项 Tr 1 Cnr a n r br ( r0，1，2， n)注 Cnr- 第 r 1项二项式系数性质：所有二项式系数和为2n中间项二项式系数最大赋值法 ：取 x0,1, 1等代入二项式十五、概率与统计1 古典概型： P( A)mA包含的基本事件个数（）n总的基本事件个数求基本事件个数：列举法、图表法A的区域长度（面积或体积）2几何概型

25、 ： P A区域总长度（面积或体积）注：试验出现的结果无限个3 加法公式 ：若事件A 和 B 互斥，则PABPAPBPA1PA互斥事件 : 不可能同时发生的事件对立事件 : 不同时发生，但必有一个发生的事件4 常用抽样（不放回）简单随机抽样：逐个抽取（个数少）系统抽样 ：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样 ：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）5 用样本估计总体众数 ：出现次数最多的数据中位数 ：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）1nxi平均数 ： xn i 1方差 S21 n( xix) 标准差 sn i 16 频率分布直方图小长方形面积 =组距频率=频率组距各小长方形面积之和为1众数最高矩形中点的横坐标中位数垂直于x 轴且平分直方图面积的直线与x 轴交点的横坐标茎叶图 ：由茎叶图可得到所有的数据信息如众数、中位数、平均数等