九年级数学上相似三角形期末复习题及答案.docx

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1、相似三角形提优训练题一选择题（共 10 小题）1如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6 ，AD=9 ，BAD 的平分线交 BC 于 E ，交 DC 的延长线于 F ，BG AE 于 G ，BG= ，则EFC 的周长为（ ）A 11B 10C 9D 82如图，在平行四边形 ABCD 则 AF 的长为（ ）中，点 E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F ，若 AE=2ED ，CD=3cm ，A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm3如图， ABC 中，AB=AC=a ，BC=b（ab） ABC 内依次作CBD= A ，DCE= CBD ，EDF= DCE 则 EF 等

2、于（ ）A B C D 4如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB ，GHMN 将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，A B C D DEF ABF6如图，在 ABCD EC= （ ）中，E 为 CD 上一点，连接 AE 、BD ，且 AE 、BD 交于点 F ，S ：S =4 ：25，则 DE ：A 2：5B 2：3C 3：5 D 3：28如图所示，在平行四边形 ABCD 则 DF ：FC= （ ）中，AC 与 BD 相交于点 O ，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F ，A 1：4 B 1：3 C

3、2：3 D 1：2二填空题（共 10 小题）12如图，在 ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，BAD 的平分线交 BC 于点 E ，交 DC 的延长线于点 F ，BG AE ， 垂足为 G ，BG=4 cm ，则 EF+CF 的长为 _ cm 13如图所示， ABC 中，BC=6 ，E 、F 分别是 AB 、AC 的中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于 D ，CBP 的平分线交 CE 于 Q ，当 CQ= CE 时，EP+BP= _ 14如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 _ 22x15正方形 ABCD 的边

4、长为 1cm ，M 、N 分别是 BC 、CD 上两个动点，且始终保持 AM MN ，当 BM= _ cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为 _ cm 17 ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A 、B ），过点 P 的直线 ABC ，使截得的三角形 ABC 相似， 我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线，简记为 P （l ）（x 为自然数）31212x（1） 如图 ，A=90 ，B= C ，当 BP=2PA 时，P（l ）、P（l ）都是过点 P 的ABC 的相似线（其中 l BC ， l AC ），此外，还有 _ 条；（2） 如图 ，C=90 ，B=30 ，

5、当 = _ 时，P （l ）截得的三角形面积 ABC 面积的 18如图，在 ABC 中，ABC=90 ，BA=BC 点 D 是 AB 的中点，连接 CD ，过点 B 作 BG 丄 CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连接 DF 给出以下四个结论：4ABC BDF1 2 3 n1 2 2 3 3 4n n+11 1 11 2 2 22n n nn n1 ；2 点 F 是 GE 的中点；3 AF= AB ；4 S =5S ，其中正确的结论序号是 _ 19如图，n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M ，M ，M ，M

6、分别为边 B B ，B B ，B B ， B B 的中点 B C M 的面积为 S B C M 的面积为 S ， B C M 的面积为 S ，则 S = _ （用 含 n 的式子表示）51 1 1 1 1 11 11 12 2 2 2n n n n20如图 ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形， ABC 内作第 1 个内接正方形 A B D E （D 、E 在 AB 上，A 、B 分别在 AC 、BC 上），再 A B C 内接同样的方法作第 2 个内接正方形 A B D E ，如此下去， 操作 n 次，则第 n 个小正方形 A B D E 的边长是 _ 三解答题（共 8 小题）

7、21如图，在 ABC 中，C=90 ，点P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转（点 P 对应点 P ）， 当 AP 旋转至 AP AB 时，点 B 、P 、P 恰好在同一直线上，此时作 P EAC 于点 E 6（1）求证：CBP= ABP ； （2）求证：AE=CP ；（3）当 ，BP =5时，求线段 AB 的长25 ABC 中，CAB=90 ，AD BC 于点 D ，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G ，点 F 在 BC 上 （1）如图 1，AC ：AB=1 ：2，EF CB ，求证：EF=CD （2）如图 2，AC ：AB=1 ： ，EF CE

8、，求 EF ：EG 的值728如图，点 B 在线段 AC 上，点 D ，E 在 AC 同侧，A= C=90 ，BD BE ，AD=BC （1）求证：AC=AD+CE ；（2）若 AD=3 ，CE=5 ，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP ，作 PQ DP ，交直线 BE 于点 Q ；8（i）当点 P 与 A ，B 两点不重合时，求的值；（ii）当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出 解答过程）29如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC ，BCD=90 ，ABC=45 ，AD=CD ，CE 平分ACB 交 AB

9、于点 E ， 在 BC 上截取 BF=AE ，连接 AF 交 CE 于点 G ，连接 DG 交 AC 于点 H ，过点 A 作 AN BC ，垂足为 N ，AN 交 CE 于点 M 求证： CM=AF ； CE AF ； ABF DAH ； GD 平分AGC （ ）910九年级数学相似三角形提优训练题参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1（2013 自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6 ，AD=9 ，BAD 的平分线交 BC 于 E ，交 DC 的延长线于 F ，BG AE 于 G ，BG= ， EFC 的周长为（ ）A 11B 10C 9D 8考点： 相似三角形的判定与性

10、质；勾股定理；平行四边形的性质分析： 判断 ADF 是等腰三角形 ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到 EC 的长度，在 BGE 中求 出 GE ，继而得到 AE ，求 ABE 的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得 EFC 的周长解答： 解：在 ABCD 中，AB=CD=6 ，AD=BC=9 ，BAD 的平分线交 BC 于点 E ，BAF= DAF ，AB DF ，AD BC ，BAF= F= DAF ，BAE= AEB ，AB=BE=6 ，AD=DF=9 ，ADF 是等腰三角形 ABE 是等腰三角形，AD BC ，EFC 是等腰三角形，且 FC=CE ，EC=FC=9 6

11、=3 ，在ABG 中，BG AE ，AB=6 ，BG=4 ，AG= =2 ，AE=2AG=4 ，ABE 的周长等于 16，又CEF BEA ，相似比为 1：2，CEF 的周长为 8故选 D 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比， 此题难度较大2（2013 重庆）如图，在平行四边形 ABCD CD=3cm ，则 AF 的长为（ ）中，点E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F ，若 AE=2ED ，11A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm考点：分析：解答：点评：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质由边

12、形 ABCD 是平行四边形，可得 AB CD ，即可证 AFE DEC ，然后由相似三角形的对应边成比 例，求得答案解：四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD ，AFE DEC ，AE ：DE=AF ：CD ，AE=2ED ，CD=3cm ，AF=2CD=6cm 故选 B 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应 用3（2013 孝感）如图， ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （ab） ABC 内依次作CBD= A ，DCE= CBD ， EDF= DCE 则 EF 等于（ ）A B C D 考点：专题：分析：解答：相似三角形的判定与

13、性质；等腰三角形的判定与性质压轴题依次判 ABC BDC CDE DFE ，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出 EF 的长度 解：AB=AC ，ABC= ACB ，又CBD= A ，ABC BDC ，同理可得 ABC BDC CDE DFE ， = ， = ， = ， = ，AB=AC ，CD=CE ，12222DEF ABFDEF ABF解得：CD=CE= ，DE= ，EF= 故选 C 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解 线段的长度，注意仔细对应，不要出错4（2013 咸宁）如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴

14、影部分 EOFB ，GHMN 飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）都是正方形的花圃已知自由A B C D 考点：专题：分析：解答：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率压轴题求得阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率； 解：设正方形的 ABCD 的边长为 a，则 BF= BC= ，AN=NM=MC=阴影部分的面积为（ ） + （小鸟在花圃上的概率为 = 故选 C a，a） =a ，点评： 本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长， 最后表示出面积6（2013 内江）如图，在 ABC

15、D 25，则 DE ：EC= （ ）中，E 为 CD 上一点，连接 AE 、BD ，且 AE 、BD 交于点 F ，S ：S =4 ：A 2：5B 2：3C 3：5 D 3：2考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得 DEF BAF ，再根据 S ：S =4 ：25 即 可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE ：AB 的值，由 AB=CD 即可得出结论解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，13DEF ABFAB CD ，EAB= DEF ，AFB= DFE ，DEF BAF ，S ：S =4 ：25，DE ：AB=2

16、 ：5，AB=CD ，DE ：EC=2 ：3故选 B 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积 的比等于相似比的平方是解答此题的关键8（2013 恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD 交 DC 于点 F ，则 DF ：FC= （ ）中，AC 与 BD 相交于点 O ，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长A 1：4 B 1：3 C 2：3 D 1：2考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 首先证 DFE BAE ，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF ：AB 的值，又知 AB=DC ， 即可得出

17、 DF ：FC 的值解答： 解：在平行四边形 ABCD 中，AB DC ，则DFE BAE ， = ，O 为对角线的交点，DO=BO ，又E 为 OD 的中点，DE= DB ，则 DE ：EB=1 ：3，DF ：AB=1 ：3，DC=AB ，DF ：DC=1 ：3，DF ：FC=1 ：2故选 D 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明 DFE BAE ，然后根据对应边成比例求值14二填空题（共 10 小题）12（2013 南通）如图，在 ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，BAD 的平分线交 BC 于点 E ，交 DC 的

18、延长线于点 F ，BG AE ，垂足为 G ，BG=4 cm ，则 EF+CF 的长为 5 cm 考点：专题：分析：解答：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质压轴题首先，由于 AE 平分BAD ，那么BAE= DAE ，由 AD BC ，可得内错角DAE= BEA ，等量代换后 可证得 AB=BE ，即ABE 是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出 AE=2AG ，而在 ABG 中，由勾股定理可求得 AG 的值，即可求得 AE 的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF ， FC 的长，即可得出答案解：AE 平分BAD ，DAE= B

19、AE ；又AD BC ，BEA= DAE= BAE ，AB=BE=6cm ，EC=9 6=3 （cm ），BG AE ，垂足为 G ，AE=2AG 在 ABG 中，AGB=90 ，AB=6cm ，BG=4 cm ，AG=AE=2AG=4cm ；EC AD ，=2 （cm ），= ，= = = ，= ，解得：EF=2 （cm ），FC=3 （cm ）， EF+CF 的长为 5cm 故答案为：5点评： 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力， 同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中1513（2013 菏泽）如图所示， ABC 中，BC

20、=6 ，E 、F 分别是 AB 、AC 的中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于 D ，CBP 的平分线交 CE 于 Q ，当 CQ= CE 时，EP+BP= 12 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理专题： 压轴题分析： 延长 BQ 交射线 EF 于 M ，根据三角形的中位线平行于第三边可得 EF BC ，根据两直线平行，内错角相等 可得M= CBM ，再根据角平分线的定义可得PBM= CBM ，从而得到M= PBM ，根据等角对等边可得 BP=PM ，求出 EP+BP=EM ，再根据 CQ= CE 求出 EQ=2CQ ，然后根 MEQ BC

21、Q 相似，利用 相似三角形对应边成比例列式求解即可解答： 解：如图，延长 BQ 交射线 EF 于 M ，E 、F 分别是 AB 、AC 的中点，EF BC ，M= CBM ，BQ 是CBP 的平分线，PBM= CBM ，M= PBM ，BP=PM ，EP+BP=EP+PM=EM ，CQ= CE ，EQ=2CQ ，由 EF BC 得 MEQ BCQ ， = =2 ，EM=2BC=2 6=12 ，即 EP+BP=12 故答案为：12点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长 BQ 构造出相似三角形，求 出 EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的

22、难点14（2013 巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 1.5米 1622四边形ABCN考点： 相似三角形的应用分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 DE BC 可知 ADE ACB ，根据其相似比即可求解 解答： 解：DE BC ，ADE ACB ，即则 = ，h=1.5m 故答案为：1.5米= ，点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列 出方程，建立适当的数学模型来解决问题15（2012 自贡）正方形 ABCD的边长为 1cm ，M 、N 分别是 BC 、C

23、D 上两个动点，且始终保持 AM MN ，当 BM=cm 时，四边形 ABCN的面积最大，最大面积为 cm 考点：专题：分析：解答：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质压轴题设 BM=xcm ，则 MC=1 xcm ，当 AM MN 时，利用互余关系可 ABM MCN ，利用相似比求 CN ， 根据梯形的面积公式表示四边形 ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值解：设 BM=xcm ，则 MC=1 xcm ，AMN=90 ，AMB+ NMC=90 ，NMC+ MNC=90 ，AMB= MNC ，又B= CABM MCN ，则，即 ，解得 CN=x （1x），S = 1

24、1+x（1x）= x + x+ ，172 2x1212x333ABCx112234 0，当 x= = cm 时，S故答案是： ， 四边形ABCN最大，最大值是 （ ） + + = cm 点评： 本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式17（2012 泉州） ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A 、B ），过点P 的直线 ABC ，使截得的三角形 ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P ABC 的相似线，简记为 P （l ）（x 为自然数）（1）如图 ，A=90 ，B= C ，当 BP=2PA 时，P（l ）、P（l ）都是过点 P

25、的ABC 的相似线（其中 l BC ， l AC ），此外，还有 1 条；（2）如图 ，C=90 ，B=30 ，当 =或 或时，P （l ）截得的三角形面积 ABC 面积的 考点： 相似三角形的判定与性质专题： 压轴题分析： （1）过点 P 作 l BC 交 AC 于 Q ， APQ ABC ，l 是第 3 条相似线； （2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有 4 条，注意不要遗漏解答： 解：（1）存在另外 1 条相似线如图 1 所示，过点 P 作 l BC 交 AC 于 Q ， APQ ABC ；故答案为：1；（2）设 P （l ）截得的三角形面积为 S ，S= S ，则相似比

26、为 1：2如图 2 所示，共有 4 条相似线：1 第 1 条 l ，此时 P 为斜边 AB 中点，l AC ，2 第 2 条 l ，此时 P 为斜边 AB 中点，l BC ，3 第 3 条 l ，此时 BP 与 BC 为对应边，且 = ，= ；= ；= = ； 第 4 条 l ，此时 AP 与 AC 为对应边，且 = ， = = ， = 故答案为： 或 或 18ABC BDFABC BDF点评： 本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相 似线，不要遗漏18（2012 嘉兴）如图，在 ABC 中，ABC=90 ，BA=BC 点 D 是 AB

27、 的中点，连接 CD ，过点 B 作 BG 丄 CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连接 DF 给出以下四个结论：1 ；2 点 F 是 GE 的中点；3 AF= AB ；4 S =5S ，其中正确的结论序号是 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 专题： 压轴题分析：首先根据题意易证 AFG CFB ，根据相似三角形的对应边成比例与 BA=BC ，继而证得正确；由点 D 是 AB 的中点，易证得 BC=2BD ，由等角的余角相等，可得DBE= BCD ，即可得 AG= AB ，继而可得 FG= BF ；即可得 A

28、F= AC ，又由等腰直角三角形的性质，可得AC= 则可得 S =6S 解答： 解：在 ABC 中，ABC=90 ，AB BC ，AG AB ，AG BC ，AFG CFB ，19AB ，即可求得 AF= AB ；ABC BDF ，BA=BC ， ，故 正确；ABC=90 ，BG CD ，DBE+ BDE= BDE+ BCD=90 ， DBE= BCD ，AB=CB ，点 D 是 AB 的中点， BD= AB= CB ，tanBCD= = ，在 ABG 中，tanDBE= = ，FG= FB ，GE BF ，点 F 不是 GE 的中点 故 错误；AFG CFB ， AF ：CF=AG ：BC=

29、1 ：2，AF= AC ，= ，AC=AF=AB ，AB ，故 正确；BD= AB ，AF= AC ，S =6S ， 故 错误故答案为： 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识此题难度适中，解题的关 键是证 AFG CFB ，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用201 2 3 n1 22 3 3 4n n+11 1 11 2 2 22n n nn n1 2 3 n1 2 2 3 3 4n n+11 1 nn n 1 1n n n 1 1 n1 2 3 n1 2 2 33 4n n+11 1 1 1 1B1C1M21 1 1 2B1C1M31 1 1 3B1

30、C1M41 1 1 4B1C1Mn1 1 1 nn n 1 1n n n 1 1 n2BnCnMn B1C1Mn2nn1 1 1 11 11 11 12 2 2 2n n n n19（2012 泸州）如图，n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M ，M ，M ，M 分别为边 B B ， B B ，B B ，B B 的中点 B C M 的面积为 S B C M 的面积为 S ， B C M 的面积为 S ，则 S =（用含 n 的式子表示）考点： 相似三角形的判定与性质专题： 压轴题；规律型分析： 由 n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M ，M ，M ，M

31、 分别为边 B B ，B B ，B B ， B B 的中点，即可求 B C M 的面积，又由 B C B C ，即可 B C M B C M ，然后利用相 似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案解答： 解：n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M ，M ，M ，M 分别为边 B B ，B B ， B B ，B B 的中点，S = B C B M = 1 = ，S = B C B M = 1 = ，S = B C B M = 1 = ，S = B C B M = 1 = ，S = B C B M = 1 B C B C ，B C M B C M ，= ，S ：S = （ ）

32、 = （） ，即 S ： = ，S =故答案为：点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式此题难度较大，注意掌 握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键20（2013 荆州）如图 ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形， ABC 内作第 1 个内接正方形 A B D E （D 、E 在 AB 上，A 、B 分别在 AC 、BC 上），再 A B C 内接同样的方法作第 2 个内接正方形 A B D E ，如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 A B D E 的边长是21n n n n1 1 1 1 1 1 11 12

33、2n n n n考点：专题：分析：解答：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形规律型求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第 n 个小正方形 A B D E 的边长 解：A= B=45 ，AE =A E=A B =B D =D B ，第一个内接正方形的边长= AB=1 ；同理可得：第二个内接正方形的边长= A B = AB= ；第三个内接正方形的边长= A B = AB= ；故可推出第 n 个小正方形 A B D E 的边长= 故答案为： AB= 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形 的边长，得出一般规律三解答

34、题（共 8 小题）21（2013 珠海）如图，在 ABC 中，C=90 ，点P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转（点 P 对应点 P ），当AP 旋转至 AP AB 时，点 B 、P 、P 恰好在同一直线上，此时作 P EAC 于点 E （1） 求证：CBP= ABP ；（2） 求证：AE=CP ；（3）当 ，BP =5时，求线段 AB 的长考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）根据旋转的性质可得 AP=AP ，根据等边对等角的性质可得APP =AP P，再根据等角的余角相等证 明即可

35、；（2）过点 P 作 PD AB 于 D ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CP=DP ，然后求出 PAD= AP E，利用“角角边”证 APD P AE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=DP ，从而222 2 22 22得证；（3）设 CP=3k ，PE=2k ，表示出 AE=CP=3k ，AP =AP=5k ，然后利用勾股定理列式求出 P E=4k，再求 ABP 和EPP 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 P A= AB ，然后在 ABP 中，利用勾股定理列式 求解即可解答： （1）证明：AP 是AP 旋转得到，AP=AP ，APP =AP P，C=90 ，A

36、P AB ，CBP+ BPC=90 ，ABP+ AP P=90，又BPC= APP （对顶角相等），CBP= ABP ；（2）证明：如图，过点 P 作 PD AB 于 D ，CBP= ABP ，C=90 ，CP=DP ，P EAC ，EAP +AP E=90，又PAD+ EAP =90，PAD= AP E，在APD 和AE 中，APD P AE（AAS ），AE=DP ，AE=CP ；（3）解： = ，设 CP=3k ，PE=2k ，则 AE=CP=3k ，AP =AP=3k+2k=5k ，在 AEP 中，PE= =4k ， C=90 ，PEAC ，CBP+ BPC=90 ，EP P+EPP

37、=90， BPC= EPP （对顶角相等），CBP= EP P，又BAP =PEP=90，ABP EPP ，即 = ，解得 P A= AB ，在 ABP 中，AB +P A =BP ，即 AB + AB = （5解得 AB=10 ） ，23点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股 定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段 DP 并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出 P A= AB 是解题的关键25（2013 绍兴） ABC 中，CAB=90 ，AD BC 于点 D ，点 E 为 AB 的

38、中点，EC 与 AD 交于点 G ，点 F 在 BC 上（1） 如图 1，AC ：AB=1 ：2，EF CB ，求证：EF=CD （2） 如图 2，AC ：AB=1 ： ，EF CE ，求 EF ：EG 的值考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题： 压轴题分析： （1）根据同角的余角相等得出CAD= B ，根据 AC ：AB=1 ：2 及点 E 为 AB 的中点，得出 AC=BE ，再 利用 AAS 证 ACD BEF ，即可得出 EF=CD ；（2）作 EH AD 于 H ，EQ BC 于 Q ，先证明四边形 EQDH 是矩形，得出QEH=90 ，则FEQ= GEH ，

39、再由两角对应相等的两三角形相似证 EFQ EGH ，得出 EF ：EG=EQ ：EH ，然后 BEQ 中，根据正弦函数的定义得出 EQ= EF ：EG 的值解答： （1）证明：如图 1，BE ， AEH 中，根据余弦函数的定义得出 EH=AE ，又 BE=AE ，进而求出在ABC 中，CAB=90 ，AD BC 于点 D ， CAD= B=90 ACB AC ：AB=1 ：2，AB=2AC ，点 E 为 AB 的中点，AB=2BE ，AC=BE 在ACD 与BEF 中，ACD BEF ，CD=EF ，即 EF=CD ；（2）解：如图 2，作 EH AD 于 H ，EQ BC 于 Q ，24EH AD ，EQ BC ，AD BC ，四边形 EQDH 是矩形，QEH=90 ，FEQ= GEH=90 QEG ，又EQF= EHG=90 ，EFQ EGH ，EF ：EG=EQ ：EH AC ：AB=1 ： ，CAB=90 ，B=30 在BEQ 中，BQE=90 ，sinB= = ，EQ= BE 在AEH 中，AHE=90 ，AEH= B=30 ，cosAE