第6章 灰色系统理论【高等教学】.ppt

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1、6 灰色系统理论 Grey Systems,1,行业学习,白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知 的，系统内各因素间有不确定的关系。 作为实际系统，灰色系统在世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的，例如人体结构与功能、粮食作物的生产等。,2,行业学习,目录,1 灰色系统介绍,2 序列算子与灰色序列生成,3 灰色关联分析,4 灰靶理论,5 灰色预测分析,3,行业学习,1 灰色系统介绍,灰色系统理论的提出 著名学

2、者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出； 邓教授在1981年上海中美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“灰色系统”一词。 诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “The Control Problems of Grey Systems”，发表于北荷兰出版公司期刊System & Control Letter, 1982, No.5。,4,行业学习,灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知, 部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统。 灰色系统理论的研究内容 灰色系统建模理论、灰色系统控制理论、灰色关联分析方法、灰色预测方法、灰色规划方法、灰色决

3、策方法等。 灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学等。,5,行业学习,三种不确定性系统研究方法的比较 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统的研究方法。正是研究对象在不确定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科。,6,行业学习,7,行业学习,模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，借助于隶属函数进行处理。 概率统计研究的是“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性的大小，

4、其出发点是，大样本，且对象服从某种典型分布。 灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部分”信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。例如：2050年中国人口控制在15亿到16亿之间、树高在20米至30米。,8,行业学习,灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求其发展变化的规律。如何通过散乱的数据系列去寻找其内在的发展规律显得特别重要。灰色系统理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过灰色数据序列建立系统反应模型，并通过该模型预测系统的可能变化状态。,9,行业学习

5、,2 序列算子与灰色序列生成, 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生成。一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性。,10,行业学习,常见的几种灰生成类型：,1. 累加生成算子（AGO） 2. 逆累加生成算子（ IAGO） 3. 均值生成算子（MEAN） 4. 级比生成算子,11,行业学习,1. 累加生成算子（ Accumulated Generating Operation, AGO）,定义 它是对原序列中的数据依次累加以得到生成序列。令 为原序列,我们说 是 的一次累加生成算子1-AGO序列，并记为,当且

6、仅当,并满足,12,行业学习,例,摆动序列为：,通过AGO可以加工成单调增序列：,13,行业学习,2. 逆累加生成算子（ Inverse Accumulated Generating Operation, IAGO）,定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累减，又称累减生成。令 为原序列,称 是 的一次累减生成1-IAGO序列，并记为,当且仅当,并 满足,14,行业学习,例,令原始序列 为,这表明,15,行业学习,3. 均值生成算子（MEAN）,定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数，以获得生成序列。令 为 的AGO序列,称 为 的MEAN序列，并记为,当且仅当,并且每个 满足下述关系

7、,16,行业学习,例,对于 ，有,17,行业学习,4. 级比生成算子,定义 设序列 ，则称,为序列 的级比。,18,行业学习,5. 累加生成的灰指数率,定义 设序列 为非负的准光滑序列，则其一次累加生成序列 具有准指数规律。原始序列越光滑，生成的指数规律越明显。,19,行业学习,20,行业学习,3 灰色关联分析,灰色关联分析的基本思想是根据系统内部各因素之间发展态势的相似、相异程度来衡量因素之间关联程度的一种方法，即根据灰色时间序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应灰色时间序列之间的关联度就越大，反之就越小。,21,行业学习,3.1 灰色关联因素和关联算子集 定义 3

8、.1.1 设 为系统因素，其在序号k上的观测数据为 则称 为因素 的行为序列；若k为时间序号， 为因素 在k时刻的观测数据，则称 为因素 的行为时间序列；若k为指标序号， 为因素 关于第k个指标的观测数据，则称 为因素 的行为指标序列。若k为观测对象序号， 为因素关于第k个对象的观测数据，则称 为因素 的行为横向序列,22,行业学习,无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可 以用来做关联分析。 定义3.1.2 设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为初值化算子， 为原像， 为 在初值化算子 下的像，简称初值像。,23,行业学习,定义 3.1.3 设 为因素 的行

9、为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为均值化算子， 为 在均值化算子 下的像 ，简称均值像。,24,行业学习,定义 3.1.4设 为因素 的 行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为区间化算子， 为区间值像。 命题4.1.1 初值化算子 、均值化算子 和区间值化算子 皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地， 不宜混合、重叠使用。,25,行业学习,定义 3.1.5 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为逆化算子， 为 在逆化算子 下的像 ，简称逆化像。,26,行业学习,定义 3.1.6 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中 则称 为倒数化算子，

10、为倒数化像。,27,行业学习,3.2 灰色关联公理与灰色关联度,命题 3.2.1 设系统特征行为序列 为增长序列， 为相关因 素行为序列，则有 1、 当 为增长序列时， 与 为正相关关系； 2、当 为衰减序列时， 与 为负相关关系。 由于负相关序列可以通过3.1节中定义的逆化算子或倒数化算 子作用转化为正相关序列，所以我们主要研究正相关关系。,28,行业学习,定义 3.2.1 设 为系统特征序列，且 为相关因素序列，给定实数 ，若实数 满足：,29,行业学习,1、规范性 2、整体性 对于 有 3、偶对称性 =,4、接近性 越小， 越大。 则称 为 对 的灰色关联度，以上4条称为灰色关联四公理。

11、 表明系统中的任何两个行为序列 都不可能时严格无关联的。,30,行业学习,定理 3.2.1 设系统行为序列 对于 令,31,行业学习,则称 满足灰色关联四公理，其中 为分 辨系数。灰色关联度的计算步骤： 1、求各序列的初值像（或均值像），令 2、求差序列，记 3、求两极最大差与最小差，记,32,行业学习,4、求关联系数 5、计算关联度,33,行业学习,例：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价 1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤,34,行业学习,2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表,35,行业学习,3确定参考数据列： 4计算 ， 见下表,36

12、,行业学习,5求最值 6 取计算，得,37,行业学习,同理得出其它各值，见下表,38,行业学习,7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）： 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号 即,39,行业学习,3.3 广义灰色关联度 1、灰色绝对关联度 命题 3.3.1 设行为序列 记折线 为 令 则当Xi为增长序列时， 当Xi为衰减序列时， 当Xi为振荡序列时，Si符号不定,40,行业学习,定义 3.3.1 设行为序列 为序列算子，且 其中 则称D为 始点零化算子， 为 的始点零化像，记为 命题3.3.2 设行为序列 的始点零

13、化像分别为,41,行业学习,令 则 1、若 恒在 上方， 2、若 恒在 下方， 3、若 与 相交， 符号不定。 定义 3.3.2 称序列 各个观测数据间时距之和为 的长度。 注意：长度相等的两个序列中的观测数据数量不一定相等。,42,行业学习,定义 3.3.3 设序列 与 的长度相等，则称 为 与 的灰色绝对关联度。 引理 3.3.2 设序列 与 的长度相同，且皆为1-时距，而 分别为 和 的始点零化像，则,43,行业学习,44,行业学习,2、灰色相对关联度 定义 3.3.4 设序列 长度相同，且初值不等于0， 分别为 的初值像，则称 的绝对 灰色关联度为 与 的灰色相对关联度。记为 灰色相对

14、关联度是序列 与 相对于初始点的变化速率的 联系的数量表征。 与 的变化速率越接近， 越大，反 之越小。,45,行业学习,3、灰色综合关联度 定义 3.3.5 设序列 的长度相同，且初值不等于0， 与 分别为 与 的绝对灰色关联度和相 对灰色关联度， 则称 为 与 的灰色综合关联度。 它既体现了折线的相似程度，又反映了相对与始点的变化速率 全面反映了序列之间联系，一般取 =0.5。,46,行业学习,4 灰靶理论,灰靶理论是处理模式序列的灰关联分析理论。 其要旨是在没有标准模式的条件下设定一个灰靶，通过灰靶理论在灰靶中找到靶心，然后将各指标的模式与标准模式进行比较，最后经由等级划分确定评估等级。

15、 灰靶理论是在一组模式序列中，找出最靠近子命题目标值的数据构造标准模式，然后将各模式与标准模式一起构成灰靶，标准模式便是灰靶的靶心，远离靶心的模式为靶边。 每一个模式与靶心的灰关联度称为靶心接近度，简称靶心度。,47,行业学习,4.1 灰模式及标准模式,48,行业学习,49,行业学习,50,行业学习,4.2 灰靶变换,51,行业学习,52,行业学习,53,行业学习,4.3 靶心度分级,54,行业学习,4.4 状态评估的计算流程,55,行业学习,例：基于灰靶理论的电力变压器状态评估方法,56,行业学习,模式1,模式8,57,行业学习,C2H2指标列,CH4指标列,C2H6指标列,C2H4指标列,

16、H2指标列,58,行业学习,59,行业学习,标准靶心,灰靶变换后的序列,60,行业学习,61,行业学习,模式1-8灰靶变换后和标准靶心的差,62,行业学习,63,行业学习,改进：基于加权灰靶理论的电力变压器状态评估方法,64,行业学习,65,行业学习,66,行业学习,67,行业学习,5 灰色预测分析,对于一个尚未出现的未来系统，必然是既有已知信息，又有未知或未确知的信息，并且处于连续变化的动态之中，所以说“预测未来”本质上是个灰色问题。灰色预测是通过对原始数据的处理和灰色模型的建立，发现和掌握系统的发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。灰色模型由于具有所需样本少、预测准确度高、运算量小

17、等特点，非常适合于状态预测。,68,行业学习,5.1 GM（1，1）模型,灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。,69,行业学习,GM(1,1)的符号含义：,G M ( 1, 1 ),Grey 灰色,Model 模型,1阶方程,1个变量,分析表明，灰色预测GM模型仅需要4个或者4个以上的数据就能构成预测精度较高的模型，与时间序列分析和多元分析等概率统计模型要求较多的观测数据相

18、比，这是其显著的优势。,70,行业学习,5.1.1 GM（1,1）模型的建立,71,行业学习,72,行业学习,73,行业学习,74,行业学习,75,行业学习,5.1.2 模型精度检验,76,行业学习,77,行业学习,78,行业学习,79,行业学习,80,行业学习,81,行业学习,实例分析,北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据,表：某城市近年来交通噪声数据dB(A),82,行业学习,2. 对原始数据 作一次累加：,得：,1.建立交通噪声平均声级数据时间序列：,83,行业学习,3. 构造数据矩阵B及数据向量Y ：,84,行业学习,于是得到：,85,行业学习,4.最小二乘估计求参数列

19、：,于是得到 。,86,行业学习,5. 建立模型：,解得时间响应序列为：,（）,87,行业学习,6. 求生成数列值 及模型还原值 ：,令 代入时间响应函数可算得 ， 其中取 。,由累减生成 ，得还原值：,88,行业学习,表：GM(1,1)模型检验表,7. 模型检验,89,行业学习,平均相对误差：,精度：,经验证，该模型的精度较高，可进行预报 和预测。,90,行业学习,5.2 改进的GM（1,1,）模型,91,行业学习,5.2.1 模型数据预处理,非等间隔数列处理成等间隔数列,92,行业学习,93,行业学习,94,行业学习,5.2.2 数据模型的选取,95,行业学习,96,行业学习,5.2.3 模型背景值的改进,97,行业学习,5.2.4 预测模型的改进,98,行业学习,99,行业学习,100,行业学习,101,行业学习,总结：改进GM（1,1,）模型的建模步骤,102,行业学习,103,行业学习,104,行业学习,实例分析,105,行业学习,