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1、第 11 讲 平面向量的数 量积与坐标运算满分晋级向量 2 级平面向量的线性 运算向量 3 级 平面向量的数量 积与坐标运算向量 1 级向量基本概念 及运算当前形势新课标剖析平面向量在近五年北京卷（理）考查 5 分高考要求内容平面向量的正交分解及其坐标表示用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算用坐标表示的平面向量共线的条件数量积数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直关系用向量方法解决简单的问题要求层次A B C具体要求掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘 运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件理解数量积的含义及其物理
2、意义 了解数量积与向量投影的关系3 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积的运算4 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系会用向量方法解决某些简单的平面几何问 题会用向量方法解决简单的力学问题与 一些实际问题北京高考2009 年2010 年 （新课标）2011 年 （新课标）2012 年 （新课标）2013 年 （新课标）第 11 讲教师版12a b a b a b a b解读第 2 题 5 分第 6 题 5 分第 10 题 5 分第 13 题 5 分第 13 题 5 分11.1 平面向量数量积运算知识点睛1两个非零向量的夹角：已知两个非零向量 a ，b
3、 ，作 OA =a ，OB =b ，则 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作 a，b，并规定 0 a，b 当 a，b= 时，称 a b 2（备注：向量在轴上的正射影仍然是向量，射影在轴上的坐标称为向量在轴上的数量或向量在轴方 向上的数量）2向量数量积（内积）：a ，b 的数量积记作 a b，定义为 a b=a b cosa，b（备注：两个向量的数量积 a b就等于一个向量的模长 a 乘以另一个向量 b 在这个向量 a 方向上的 投影的数量，这就是向量数量积的几何意义，我们会在考点 2 中展开）以数量积的定义，我们可以1 判断两个向量是否垂直： a b a b=0 （规定，零向量与任何
4、向量都垂直）；2 计算任一向量的模长： a a= a ，即 a = a a；计算两个向量的夹角： cosa，b= 3向量的数量积满足的运算律：交换律： a b=b a；a ba b（ a b 0 ）与数乘的结合律： l(a b) =(la) b=a (lb) ；注意：数量积本身不满足结合律！对加法的分配律： (a +b ) c=a c+b c练习 1 ：设 a ，b ，c 为平面向量，下面的命题中正确的是_ a (b -c ) =a b-a c； ( a b) c=a (b c) ；若 a b=0 ，则 a =0 或 b =0 若 a b=a c，则 b =c ； ( a -b ) (a -b
5、 ) =|a |2 -2 | a | b | +| b | 2 ；对非零向量 a ，b ，有 + - =0 【解析】 正确，不正确 a b=0 a b ，不一定有 a =0 或 b =0 ，不正确中， a b=a c a (b -c ) =0 a (b -c ) ，不正确2第 11 讲教师版 a ba ba2 2( ) 2 ( a -b )2=a a+b b-2a b=|a |2+| b |2-2 | a | b | cosq ，不正确a b a b a 中 + - = 2-bb2=0，正确经典精讲考点 1：向量数量积、模长及夹角的基本求法由向量的数量积定义 a b=a b cosa，b，我们
6、知道：如果有两个向量的模长与夹角，那么可以 计算它们的数量积；如果有两个向量的模长与它们数量积，也可以计算它们的夹角的余弦值同样地， 有其中一个向量的模长，以及两个向量的夹角与数量积，也可以计算出另一个向量的模长即知任何 三个量可以求剩下的一个量如已知 a =4 ，b =3 ，a，b=60，a b=6 知道其中任何三个量，都可以求出第四个 有了向量的数量积的运算法则，这个问题的变形构成了向量的基本求值问题：已知向量 a ，b 的模长及其夹角，也可以求 a ，b 的线性组合得到的向量的数量积与模长如铺垫与例 1其实，给出与向量 a ，b 相关的任何三个信息（互相独立的），都可以得到三个等式，从而
7、确定两 个向量的模长与夹角三个量，计算得到其它相关的量学生最初会不太明确化简的方向，给出的三个信息可能会朝不同的方向化简，从而无法得到结论， 其实，只要 化简的方向统一 ，所有的信息都转化到两个向量对应的模长、夹角与数量积，即 a ，b ，a b，a，b四个量中的三个就能得统一的结论另外要明确，求模长利用 a = a a、求夹角利用 cosa，b=a ba b、证明垂直利用 a b=0 可以通过铺垫进行讲解，再让学生练例 1，例 1 都是常见的基本问题，例 2 难度更大，需要进一步 挖掘条件求解【铺垫】 已知 a =4 ，b =3 ，a，b=60，则 ( a +b ) (a +2b ) =_，
8、 a -b =_2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120， a =3 ， a +b = 13 ，则 b =_3 已知 | a |=1 ， | b |=6 ， a (b-a)=2，则向量a与向量b 的夹角是_【解析】 52 ， 13 4 a +b =13 =( a +b ) (a +b ) =9 +2 3cos120 b + b ，解得 b =-1（舍去）或 b =4 3a b -a =a b-a =2 ，且 | a |=1 ， a b=3， cosa，b=a b 1 = ， a, b= a b 2 3第 11 讲教师版32 22 2 2 22 212 ( )( )2 2222【例1】 已知
9、| a |=2 ， | b |=3 ， a , b 的夹角为 60，则 a (a +b ) =_， | 2 a -b |=23（2012 新课标 13）已知向量 a ，b 夹角为 45，且 a =1，2a -b = 10 ，则 b =_ 已知平面向量 a ，b ， a =1，b =2 ， a (a-2b)，则2a+b =_【解析】 7 ； 13a (a +b ) =a a+a b=2 2 +2 3 cos60 =7 ； (2 a -b ) 2 =4 a -4 a b cos60 +b =13 3 2a ，b 的夹角为 45 ， a =1 ， a b=a b cos45 = 10b ， 2 a
10、-b =4 -4 b +b =10 ， b =3 2 2 2【铺垫】若非零向量 a 和 b ，满足 a = b = a -b ，则 a 与 b 的夹角为_【解析】3；法一：向量运算的几何意义由减法的几何意义知， a ， b 夹角为 3法二：代数计算记 a = b = a -b =m ，则( a -b ) (a -b ) = a -2 a b+b =2m2-2a b=m2m 2 a b= ，2故cosa，b=a b 1=a b 2 a，b= 3【例2】 若向量 a 、 b 满足 a =b = a +b =1 ，则 a b=_ （2013 安徽 13）若非零向量 a ，b 满足 a =3 b =
11、a +2b ，则 a 与 b 的夹角的余弦值为_ 【解析】 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为q，若 a +b 1 ，则 q的取值范围为_ 1- ；2法一：几何意义由向量加法的平行四边形法则知， a，b=120 ，从而 法二：代数计算1a b=cos120=- 2其实由1 - ；3a +b = a +b a +b =1 +1 +2a b=1 a b=- 2记 a =3 b = a +2b =3m ，则( a +2b) (a +2b) = a +4 a b+4 b =9 m =9 m +4 a b+4 m ，解得a b=-m2a b -m2 1，故 cosa，b= = =- a b 3m
12、m 34第 11 讲教师版a b2aa b2( ) 2 0 ， ； 3 2 2 1( a +b ) (a +b ) = a +2 a b+b =2 +2 a b1 ，故 a b- 2即a b=a b cosq=cos1q- ，又 q2 2 0 ， ，故 q 0 ， 3 有非常明确的几何意义：a a【备选】若向量 a 与 b 不共线， a b0 ，且 c =a - b ，则向量 a 与 c 的夹角为_【解析】 ； 2a c=a - 2 a b=0，所以向量 a 与 c 垂直考点 2：数量积的应用 数量积具有明确的几何意义，两个向量的数量积等于一个向量的模长乘以另一个向量在这 个向量方向上的投影的
13、数量所以如果两个向量的模长一定，当两个向量方向相同时，数 量积最大；方向相反时，数量积最小又因为向量加法也有明确的几何意义，符合平行四 边形法则，所以两个模长一定的向量，当它们的方向相同时，它们的和的模长也有最大值； 当它们的方向相反时，它们的和的模长也有最小值，这既可以由数量积对模长进行计算得 到，也可以直接由几何意义理解，可以结合下面的铺垫讲解这两个性质，这两个性质的应 用并不简单，讲完铺垫可以让学生思考例 3备注：所有平面几何图形中的向量问题都放到板块三平面几何中的向量问题中处理【铺垫】设 a ，b 为单位向量，则 a b的最大值为_，最小值为_； a +b 的最大值为_ 【解析】 1
14、，-1，2 ；-1 a b=cos a，b 1 ，当 a ，b 方向相同时取最大值，方向相反时取最小值；由 a +b 的意义知，当 a ，b 方向相同时， a +b 有最大值 2 ，也可以通过代数计算由a +b =2 +2cos a，b得到【例3】 【解析】 设 a ，b ，c 为单位向量， a ，b 的夹角为 60，则 a c+b c的最大值为_(2013 湖南理 6)已知 a ，b 是单位向量， a b=0 ，若向量 c 满足 c -a -b =1 ，则 c 的取 值范围是_3a c+b c= a +b c，因此当 c 与 a +b 方向相同时， a c+b c取得最大值为 3 2 -1，
15、 2 +1；因为 a ，b 是单位向量，a b=0 ，故 a +b 是一个模长为 2 的向量，如图，a+b将 a +b 与 c 用共起点的有向线段表示，易知 2 -1 c 2 +1 c用代数分析：第 11 讲教师版521( )2可记 c -a -b =d ，则 d =1 ，且c =d + a +b ，故当 d 与 a +b 方向相同时， c 有最大值2 +1 ；当 d 与 a +b 方向相反时， c 有最小值 2 -1 ，且中间值都能取到，从而得范围 11.2 向量的坐标运算考点 3：向量的坐标运算与平行垂直关系知识点睛 由平面向量基本定理知，任意两个不共线的向量都可以构成一个基底；而由前一板
16、块我们 知道，随便取一组基底，去计算由基底线性表出的向量的数量积是一件轻松的事情，如 上一板块的铺垫题：已知 a =4 ，b =3 ，a，b=60，计算 ( a +b ) (a +2b) =_ 要想让数量积的计算变得简单，我们希望交叉项 a b消失，这就是正交的概念，即构成 基底的两个向量是互相垂直的；再进一步，如果 a = b =1 ，计算会更容易，即交基底进 行正交化，取互相垂直的单位向量为基底，这便是标准正交基如果取定一组标准正交基e ，e1 2， 那 么 a = a +e1 1a ，e b =b e +b e 2 1 1 2 2， 那 么 a b = a b+1 12ab 而a = a
17、 a = a 21+a 22在标准正交基下，将分解的系数直接记为坐标（有序实数对），就得到了相应的坐标运算的结论，如下： 已知 a =( a ，a ) ，b =(b ，b ) ，1 2 1 2则： a b =( a b ，a b ) ； la =(1 1 2 2la ，la ) ； a b=a b +a b ；1 2 1 1 2 2a b a b -a b =0 ； a b a b +a b =0 ；1 2 2 1 1 1 2 2a = a a = a 21+a 22； cosa，b=a ba b=a 21a b +a b1 1 2 2+a 2 b 2 +b 2 2 1 2经典精讲【铺垫】已知
18、两个向量 a =(1，2) ， b =( x ，1) ，1 若 a b ，则 x 的值是_；2 若向量 c 与向量 a 方向相反，且 c =2 5 ，则 c =_ 若 ( a +2b ) a ，则 x 的值是_【解析】 121； a b ， 1 -2 x =0 ，解得 x = ；2 ( -2，-4) ；9 9 - ； ( a +2b) a=a +2b a=5 +2( x +2) =2 x +9 =0 ，解得 x =- 2 2【例4】 6已知向量 a =( -1，2) ， b =( -2，1) ， c =(1，1) ，若向量 c 与向量 ka +b 平行，则实数第 11 讲教师版bx =1422
19、k =_；若 c =ma +nb （ m ，n R ），则 m =_， n =_已知向量 OA =(3 ，1) ，OB =( -1，2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，则 OC =_ （2010 山东理 12 ）定义平面向量之间的一种运算 “ ” 如下：对任意的 a =(m，n)，b =(p ，q)，令 a b =mq -np ，下面说法错误的是（ ）A若 a 与 b 共线，则 ab =0C对任意的 lR ，有 (la)b=l(ab)B a b =b a D (ab)2+(ab)2= a2 2【解析】 k =-1; m =1，n =-1； 7 5 ；设 OC =
20、( x ，y ) ， OC OB ， OC OB =0 ，得 2 y -x =0 又 BC OA， BC =( x +1 ，y -2) ， 3( y -2) -( x +1) =0 ，即 3 y -x =7联立、得 ， OC =(14 ，7) 从而 OC =7 5 y =7 B对 A， a 与 b 共线 mq -np =0 ，从而 ab =0 ，正确；对 B， a b =mq -np ， b a = pn -mq =-a b ，故 B 错误；对 C， (la)b=(lm，ln)(p ，q) =lmq -lnp ， l(a b) =l(mq -np ) ，故 C 正确；对 D，左边=( mq -
21、np )2+( mp +nq )2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，右边=( m2+n2)( p2+q2) =左边，故 D 正确【备选】 x ，y ，m ，n R ，且x2+y2=3 m+n =1，试用向量方法求 mx +ny 的最值【解析】 设 a =( m ，n ) ，b =( x ，y ) ，则 a =1，b = 3 ， a b=mx +ny = a b cosa，b= 3cos a，b 当 cos a，b=1时， mx +ny 有最大值 3 ，此时 a ，b 方向相同；当 cos a，b =-1时，mx +ny 有最小值 - 3 ，此时 a ，b 方向相反11.3 平面几何中的
22、向量问题考点 4：平面图形中的向量问题经典精讲 例 5 主要涉及对向量的运算与数量积的定义及几何意义的理解，不需要选定基向量或建系去计算需要注意的是向量所成的角，必须将两个向量调整成同起点的，首尾相接的向 量尤其需要注意第 11 讲教师版7A AC =AC ABB BC =BA BC222 22 222 【铺垫】 正三角形 ABC 的边长为 2 ，则 AB BC =_ 在 RtABC 中， A =90， AB =3 ， AC =4 ，则 AB BC =_【解析】 -2； AB BC =22 2 cos =-223 -9 ； AB BC =-BA BC =-BA BC cos B =-35 =-
23、95【例5】 （2013 西城一模理 11）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ，则 AC DB =EEFFA B在直角 ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） 2 2C AB =AC CDD CD =( AC AB ) ( BA BC )2AB（2012 北京理 13）已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的 值为_； DE DC 的最大值为_ 在边长为 1 的等边 ABC 中， D 为 BC 边上一动点，则 AB AD 的取值范围是 【解析】 3- ；2 C由向量数量积的几何意义易知，A、B 正确，CA C
24、D = CD ，从而 AC AD =-CD ，C 错误CD 中右边 =AC BCAB= CD ，故 D 成立ADB 1 ，1 ；DE CB = DE CB cosDE ，CB =DE cosDE ，CB， 由 数 量 积 的 几 何 意 义 知 ， DE cosDE ，CB表 示 DE 在 CB 方 向 上 的 投 影 ， 长 度 即 为 1 ， 故 D EC B=1 ； DE DC = DE DC cosDE ，CB=DE cosDE ，CB , 由 数 量 积 的 几 何 意 义 知 ， DE cosDE ，CB表示DE 在 DC 方向上的投影，投影的最大值为 1 ，故 DE DC 的最大
25、值 为 1 1 ，1 ；2 利用向量数量积的几何意义， AB AD 等于 AB 乘以 AD 在向量 AB 方向上的投影的数量， 结合图形即得范围 例 6 需要选定基向量或者建系去进行直接计算，这里的问题都涉及到比较特殊的几何体，8第 11 讲教师版 1 ( )如正三角形、直角三角形、矩形、正方形等，一般存在直角的建系比较容易，不存在直角 的直接选定两个基向量比较容易【铺垫】 在边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 、 F 分别为 BC 、 DC 的中点，则向量 AE AF = 在正三角形 ABC 中， D 是 BC 上的点若 AB =3 ， BD =1 ，则 AB AD =DFCCED第题
26、 AB第题 AB【解析】 1 ；以 A 为原点， AB ，AD 所在直线为坐标轴建系，从而 1 1 AE = 1， ，AF = ，1 ， 2 2 从而 AE AF =1 也可以直接选取基向量，直接计算152；2 1 2 1 2 1 15 AD = AB + AC ，于是 AB AD = AB AB + AB AC = 3 3 + 3 3 cos = 3 3 3 3 3 3 3 2 本题也可以利用向量的几何意义，过点 D 作 AB 边垂线，交 AB 于点 E ，由几何关系知，E为 AB 边的六等分点，从而5 15AB AD = AB AE =3 3 = 6 2【例6】 如图，在边长为 2 的菱形
27、 ABCD 中，BAD =60，E 为 CD 的中点，则 AE BD =_ （2012 江苏）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， BC =2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在 边 CD 上，若 AB AF = 2 ，则 AE BF 的值是_DFCDECEABAB 【解析】 1 ；取 AB ，AD 为基向量，则 AB = AD =2 ，AB AD =2 2 cos =2 ，3AE =12AB +AD ， BD =AD -AB ，于是 AE BD = AB +AD AD -AB =12 2 ；由 AB AF = AB AF cos FAB = AB DF = 2 DF =1 ，
28、以 A 为坐标原点， AB ，AD 所在直线为 x 轴， y 轴建立直角坐标系， 则 E ( 2 ，1) ，B ( 2 ，0) ，F (1，2) ，第 11 讲教师版9( ) ( )( )2 1 1 4故 AE BF =( 2 ，1) (1- 2 ，2) = 2 本题也可以不建系，直接用 AB ，AD 为基向量进行计算 例 6 的几何体与各点都是明确给出的，还有的时候，几何体只满足一些限制条件，形状并不确定，某些点是通过向量关系给出的，要求其中的某些不变量这就需要首先对已经条 件进行分析整理，寻找突破点，这类题难度更大，见例 7【例7】 （2011 北京东城二模理 7 ABC 外接圆的半径为1
29、 ，圆心为 O ，且 2OA +AB +AC =0 ， | OA |=| AB | ，则 CA CB =_在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM =1 ，点 P 在 AM 上且满足 AP =2 PM ，则 PA PB +PC )=_【解析】 3 ；由 2OA +AB +AC =0 ，有 OB +OC =0 ，即 ABC 的外心 O 为边 BC 的中点，故 A 为直角又OA = AB =1 BC = OB ，故 B = ， C = 又 BC =2 ，故 AC =2sin = 3 2 3 6 3从而CA CB = 3 2 cos =3 64 - ；9如图， PB +PC =2 PM ，PA
30、 PB +PC =PA 2 PM ，且 PA =-2PM ，原式 =-4 PM ，又 PM = AM = ， PA PB +PC =- 3 3 9APBMC【备选】如图，在四边形 ABCD 中， | AB | +| BD | +| DC |=4 ， | AB | |BD | +| BD | |DC |=4 ， AB BD =BD DC =0 ，则 ( AB +DC ) AC 的值为（ ）A 2B 2 2C 4D 4 2【解析】 C | AB | |BD | +| BD | |DC |=4 ， (| AB | +| DC |)|BD |=4 ， 又 | AB | +| BD | +| DC |=
31、4 ， | AB | +| DC |=4 -| BD | ，D CA B10第 11 讲教师版2 2AB AC ABAC则由可解得 | AB | +| DC |=|BD |=2 ，又 AB BD =BD DC =0 ， AB DC ，又 AB ，DC 方向相同， AB DC =| AB | |DC | ， ( AB +DC ) AC =( AB +DC ) (AB +BD +DC ) =AB +2 AB DC +DC=| AB |2+2 | AB | |DC | +| DC |2=(| AB | +| DC |)2=22=4 已知非零向量 AB 与 AC 满足 + AB AC 1BC =0 且
32、 = ，则 ABC 为（ ）AB AC 2A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 在四边形 ABCD 中， AB =DC =(1，1)， 面积为 【解析】 D1 1 3BA + BC = BD ，则四边形 ABCD 的 BA BC BD设ABAB为 AB 上的单位向量，ACAC为 AC 上的单位向量，AB AC+ 的方向为 BAC 的角平分线 AO 的方向， AB AC而 AO BC =0 ， AO BC ， ABC 为等腰三角形， AB =AC AABABACAC=ABABAC 1 cos BAC = ，AC 2BOCABAB=ACAC=1 ， BAC =60
33、综上所述， ABC 为等边三角形 3由已知 AB =DC =(1，1)可知，四边形ABCD 为平行四边形又1 1BA + BC =BA BC3BDBD ，即BD 为 BA 与 BC 夹角平分线，则四边形 ABCD 为菱形，BA +BC =BD =3 BABDBD ，AD BD = 3 BA = 6 ，又由 BA : AD : BD =1:1: 3 ，记 AC ，BD 的交点为 M ，BC第 11 讲教师版112 2由BMAB=32， AM BM 得到 BAC =60，从而 BAD =120 AC = DA = 2 ， S =12 2 6 = 3 实战演练【演练 1】平面向量 a 与 b 的夹角
34、为 60， a =2 ， b =1 ，则 a +2b =_ 【解析】 2 3 ；由已知 | a |=2 ，| a +2b |2=a +4a b+4b =4 +4 2 1cos60 +4=12 ， a +2b =2 3 【演练 2】设平面向量 a =(1，2) ， b =( -2，y ) ，若 a b ，则 3a +b =_ 【解析】 5a b ，则 2 (-2) -1y =0 y =-4，从而 3a +b =(1，2) ， 3a +b = 5 【演练 3】在四边形 ABCD 中， AB =DC ，且 AC BD =0 ，则四边形 ABCD 为（ ）A矩形B菱形C直角梯形D等腰梯形【解析】 B
35、AB =DC 即一组对边平行且相等， AC BD =0 ，对角线互相垂直， 该四边形 ABCD 为菱形【演练 4】在 ABC 中，有命题： AB -AC =BC ； AB +BC +CA =0 ； 若 ( AB +AC ) (AB -AC ) =0 ，则 ABC 为等腰三角形； 若 AC AB 0 ，则 ABC 为锐角三角形上述命题正确的是（ ）A B C 【解析】 C；D AB -AC =CB ，故假； AB +BC +CA =AC +CA =0 ，故真； ( AB +AC ) (AB -AC ) =AB AB -AC AC =0 ， AB AB =AC AC ， AB = AC ABC 为
36、等腰三角形，故真 AC AB = AC AB cos A 0 ，则 A 为锐角但 B ，C 无法确定，故假；【演练 5】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-1，-2)， B(2，3)， C(-2，-1) 求以线段 AB ， AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；12第 11 讲教师版 5依题意可知， 1 3 1 1 1 2 3 1 1 2 2 设实数 t 满足 (AB-tOC )OC=0，求 t 的值【解析】 由题设知 AB =(3，5)，AC =(-1，1)，则 AB +AC =(2，6)，AB -AC =(4，4)所以 AB +AC =2 10， AB -AC =4 2故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 由题设知： OC =(-2，-1)，AB-tOC =(3+2t，5 +t )由 (AB-tOC )OC=0得：(3+2t，5 +t )(-2，-1)=0，从而5t =-11 ，所以11t =- 5【演练 6】在 ABC 中，C =90，A=30，BC =1 ，D 为斜边 AB 的中点，则AB CD =在