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1、建筑力学,第五章内力与内力图 教师：邹定祺,1,学习浅析,内容： 1、内力的求解方法 2、内力图的绘制方法 重点： 1、用简易法计算内力 2、利用微分关系绘制内力图的方法，尤其是平面弯曲梁的剪力图和弯矩图,2,学习浅析,5.1基本概念,5.1.1内力的概念 由于外力作用而引起的物体内部相互作用 力的改变量，称为附加内力，简称内力。 5.1.2求内力的截面法 为了显示某一截面的内力，必须用一假想的截面截开物体，才能显示出作用在该截面上的内力。 截面上的内力一般有轴力（FN)、剪力（FQ)和弯矩(M)。,3,学习浅析,1、切开； 2、代力； 3、平衡。 Fix=0 Fiy=0 mo(Fi)=0,F
2、1,F2,F3,F4,M,n,n,F1,F2,n,n,FQ,M,FN,4,学习浅析,截面法求内力的步骤： 1）截开：欲求某一截面上的内力时，就沿着该截面假想地把构件分成两部分，任意留下一部分作为研究对象，弃去另一部分。 2）替代：用作用在截面上的内力，代替弃去部分对保留部分的作用。 3）平衡：根据保留部分的平衡条件，建立平衡方程，确定未知内力。,5,学习浅析,5.2轴向拉压杆的内力与内力图,*一般工程中的拉压杆都是直杆。 *拉压杆横截面上的内力是一个分布力系，其 合力（FN)的作用线与杆轴线重合,称为轴力。 规定，FN箭头指向背离截面（拉力）时为正。 反之取负（使截面受压）。 *轴力图，正值得
3、轴力画在横轴线的上侧，负 值得轴力画在下侧。,6,学习浅析,轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆的轴线重合,用符号 表示 1、切开； 2、代力； 3、平衡。,7,学习浅析,8,学习浅析,例：,4KN,5KN,2KN,F,2F,9,学习浅析,5.3扭转杆件的内力与内力图,5.3.1 扭转的概念 在外力作用下，杆件各横截面均绕杆轴线相对转动， 杆轴线始终保持直线，这种变形形式称为扭转变形。,10,学习浅析,5.3.2扭转杆件的内力与内力图 * 扭矩是作用在垂直于杆件轴线的平面内的力偶。杆 件任意两个横截面之间相对转过得角度，称为扭转角。,外力偶Me,外力偶,扭矩Mt,11,学习浅析,*扭矩正负号
4、的规定：用右手螺旋法则，以右手的四指表示扭矩的转向，当姆指的指向与截面外法线方向一致时，扭矩为正好；反之，为负号,12,学习浅析,外力偶矩 工程中一般不直接给出作用于轴上的外力偶矩，只给出传动轴的转速及其所传递的功率。它们之间的关系为： 式中： 为作用在轴上的外力偶矩；P为传动轴所传递的功率；n为传动轴的转速。 通常，输入力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；输出力偶矩为阻力偶矩，其转向与轴的转向,13,学习浅析,5.4平面弯曲梁的内力与内力图,14,学习浅析,5.4平面弯曲梁的内力与内力图,5.4.1弯曲变形的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形 或简称弯曲。以弯曲为主要变形
5、的杆件称为梁。,15,学习浅析,1.平面弯曲 常见梁的截面形式 梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲称为平面弯曲。,16,学习浅析,平面弯曲的特点： *具有纵向对称面 *外力都作用在此面内 *弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,17,学习浅析,2.梁的计算简图 （1） 梁身的简化：用梁的轴线。 （2） 荷载的简化： 集中力当外力的作用范围与梁的尺寸相比很小时，可视为作用在一点上。 力偶当作用在梁上的两个集中力大小相等、反向相反，作用线相邻很近时，可视为集中力偶。 分布力连续作用在梁上的全长或部分长度内的荷载表示为分布荷载。 （3）支座的简化：固定铰支座、可动铰支座、固定端支座。,18,学习
6、浅析,1）固定铰支座,螺栓,A,A,FAx,FAy,19,学习浅析,2）可动铰支座,A,A,FA,垫 块,.,.,.,20,学习浅析,3）固定端支座,FAx,FAy,mA,A,21,学习浅析,3.梁的类型 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁,22,学习浅析,5.4.2梁弯曲时横截面上的内力剪力和弯矩 1.剪力和弯矩的概念 . m F Fiy=0: . A B FAy-FQ=0 . a m FQ=FAy . L M=0: . FAy FBy FAya-M=0 . m M M=FAya . A . a m FQ F . FAy M FQ . B . m L-a . FBy,23,学习浅析,*无论取
7、哪一部分为研究对象，同一截面左右两面上的剪力和弯矩不仅数值相同，而且符号也一致。 *FQ和M的正负号规定： . FQ FQ . 左 + 右 左 - 右 . . mi左 mi右 . . 左 M M 右 左 右 . mi左 M M mi右 . + -,24,学习浅析,用截面上法计算指定截面剪力和弯矩的步骤： 1) 计算支座反力。 2）用假想的截面在求内力处将梁截成两部分，取其一（力较少的）部分为研究对象。 3）画出研究对象的受力图，截面上的剪力和弯矩一般都先假设为正。 4）建立平衡方程，求内力。 见例题,25,学习浅析,【例5-5】如图(a)所示外伸梁，已知 q=4kN/m, F=6kN,求1-1
8、截面上的剪力和弯矩。 【解】（1）求支反力 如图(b)，设A、B处支反力 为FAy、FBy，由平衡方程式 MA=0 FBy 6-(q6)3-F7=0 得 FBy=19kN () MB=0 -FAy6+(q6)3-F1=0 得 FAy=11kN () 校核 Fix=FAy+FBy-q6-F=11+19-46-6=0 表明支反力计算正确。,A,1,1,2m,6m,1m,q,F,B,A,FAy,FBy,1,1,2m,6m,1m,B,F,q,26,学习浅析,（2）计算1-1截面的内力。将梁沿1-1截面截开，选 左端为研究对象。截面上的弯矩和剪力按正方向假 设， 如图（c）。列平衡方程 F=0 ：FAy
9、-q2 - FQ1=0 得 FQ1=FAy-q2=11- 42=3kN M1-1=0: -FAy2+(q2)1+M1=0 得 M1=FAy2-(q2)1 =112-421=14kN.m FQ1、M1都为正号，表示FQ1、 M1的真实方向与图(c)中所示 的方向相同，即弯矩和剪力 都是正的。,M1,FQ1,FAy,A,1,1,2m,M1,FQ1,q,F,3m,1m,1,1,FBy,27,学习浅析,【例5-6】图(a)所示悬臂梁，q=3kN/m,F=10kN。求1-1截面上的剪力和弯矩。 【解】对悬臂梁可不求支座反力， 直接选右段为研究对象，截面上 的剪力弯矩均按正方向假设，如 图(b)所示。列平
10、衡方程 Fiy=0: FQ1-F-q 4=0 FQ1=F+q 4=10+3 4=22kN M1-1=0: -F 4 - q42 M1=0 M1=-F 4 - q42=-104 -342= -64kN.m FQ1为正号，表示FQ1的真实方向与图(b)中所示相同； M1为负号，表示M1的真实方向与图中所示方向相反。,A,B,1,1,2m,4m,F,q,1,1,M1,FQ1,F,B,4m,q,28,学习浅析,2.简易法计算内力 *计算剪力时，根据脱离体建立投影方程Fiy=0, 经过移项后可得 FQ=Fiy左 或 FQ=-Fiy右 。 *计算弯矩时，根据脱离体建立对截面形心o的力 矩平衡方程M=0，经
11、过移项后可得 Mo= Mo(Fi左) 或 MO= Mo(Fi右) 当力矩使脱离体产生下凸变形时，其值取正号, 反之，取负号。 *剪力和弯矩都按正方向假设。,29,学习浅析,【例5-7】图(a)所示外伸梁，q=3kN,用简易内力计算法求两1-1、2-2截面的剪力和弯矩。 【解】 （1）求支反力 MA=0:FBy 6 (q8)4=0 FBy=16kN () MB=0: -FAy 6+ (q 8 )2=0 FAy=8kN () 校核 Fiy=FAy+FBy - q 8 =16+8 -38=0 说明支反力计算正确。 （2）计算1-1、2-2截面内力，,A,1,1,2,2,B,3m,6m,2m,q,q,
12、1,1,A,2,2,B,3m,6m,2m,FAy,FBy,2m,30,学习浅析,取1-1截面左端部分为研究对象计算1-1截面上的剪力和弯矩。按照顺时钟转剪力为正，下凸弯矩为正的原则，可求得: FQ1=F左=FAy - q3=8-33=-1kN (逆转） M1=FAy3 - q31.5=83 -331.5 =10.5kN.m （向下凸） 同理，取2-2左面部分为研究对象计算2-2截面上的剪力和弯矩： FQ2=FAy - q6=8 - 36=-10kN （逆转） M2=FAy6 - q63=86 - 363=-6kN.m (上凸) 计算结果相同。,A,FAy=8kN,q,3m,6m,2m,B,FB
13、y=16kN,1,1,2,2,31,学习浅析,如果取截面右边为研究对象，结果一样： 取1-1截面右端部分为研究对象 FQ1=-F右=-(FBy-q5)=-(16-3 5)=-kN (逆转） M1=FBy3 - q52.5=163 -352.5= 10.5kN.m(向下凸) 取2-2左面部分为研究对象 FQ2=-(FBy - q2)=-(16 - 32)=-10kN （逆转） M2=FBy0 - q21=0 - 321=-6kN.m (上凸),A,FAy=8kN,q,3m,6m,2m,B,FBy=16kN,1,1,2,2,32,学习浅析,5.4.3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 1.内力方程
14、FQ=FQ(x) , M=M(x) 2.剪力图和弯矩图正负号： . FQ . . + - . x x . . - + . . M 见例题,33,学习浅析,【例5-8】画出简支梁受集中荷 载时的剪力和弯矩图。 【解】（1）求支座反力 MA=0: FBy l - Fa=0 FBy=Fa/l kN () MB=0: -FAy l +Fb=0 FAy=Fb/ l kN () (2)列剪力和弯矩方程： AC段：FQ(x1)=FAy=Fb/l (0x1a) M(x1)=FAyx1=Fbx/l (0 x1 a),A,B,F,a,b,l,(a),A,B,FAy,FBy,a,b,l,x1,x2,(b),C,C,
15、F,34,学习浅析,CB段：FQ(x2)=FAy-F=Fb/l F=-Fa/l (ax2l) M(x2)=FAyx2 F(x2- a)=Fbx2/l F(x2-a) =Fa(l-x2)/l (a x2 l) （3）画剪力图和弯矩图 FQ图：FQ(x1)和FQ(x2)均为常数， 故，剪力图在AC段和CB段都是 平行于x轴的直线。如图(c). M图：M(x1)和M(x2)都是一次函数， 故，AC段和CB段的弯矩图都是斜 直线。 AC段：x1=0时 MA=0 , x1=a时 MC=Fab/l CB段：x2=a时 MC=Fab/l , x2=l时 MB=0.如图(d)。,Fb l,Fa l,FQ图(k
16、N),(c),Fab l,M图(kN.m),(d),35,学习浅析,由图(d)可知，在集中力作用处的截面上的弯 矩值最大，其值为 Mmax=Fab/l 若集中力作用在梁的中点， 如图(e) 则：FQmax=F/2 Mmax=FL/4 其剪力图和弯矩图分别如 图(f)和(g).,F,l/2,l/2,l,A,B,C,F/2,F/2,FL/4,FQ图(kN),M图(kN.m),(e),(f),(g),36,学习浅析,5.4.4用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 1.荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系 . y q(x) . q(x) FQ(x) . . M(x) C M(x)+dM(x) . . A B
17、X . X dx dx FQ(x)+Dfq(x) . 由 Fiy=0: FQ(x)+q(x)dx-FQ(x)+dFQ(x)=0 得 （5-8） 剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度。,37,学习浅析,由 Mc=0: 高阶小量可以略去 -M(x)-FQ(x)dx-q(x)dx2/2+M(x)+dM(x)=0 得 (5-9) 弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。 再对x求导得 （5-10） 二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向， 若q(x)0,弯矩为上凸曲线， 即弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致,38,学习浅析,2、常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系 1）剪力图与荷载的关系 (
18、1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时， 若q(x)方向向下，则FQ图为下斜直线； 若q(x)方向向上，FQ图为上斜直线。 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0， FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。,39,学习浅析,2）弯矩图与荷载的关系,在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。,(2)当q(x)朝下时，,当q(x)朝上时，,M图为向下凹。,M图为向上凸。,(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力 向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。,(
19、4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针 方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之， 由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。,40,学习浅析,3)弯矩图与剪力图的关系,(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。,(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。 一般，内力图总的变化趋势（从左向右），与荷载的指向（箭头）一致。,41,学习浅析,在Q=0的截面,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧
20、截面,42,学习浅析,3.利用上述规律，可更简便的绘制剪力图和 弯矩图，步骤如下： 1）计算支座反力。 2）确定几个控制截面：杆件两端、分布荷载的起点和终点、支座处（对剪力图，则为支座左右两边相邻截面）、集中荷载作用点（对剪力图，则为集中荷载作用点左右两边相邻截面）、集中力偶作用点（对弯矩图，则为集中力偶作用点左右两边相邻截面）。,43,学习浅析,3）利用简易计算法，分别计算各个控制截面 的剪力值FQ和弯矩值M，并分别标在相应的 剪力图和弯矩图上。 4）按照前面所述剪力图和弯矩图的变化规律, 将剪力图和弯矩图上各控制点用相应的线段连 线。 例题,44,学习浅析,【例5-9】画出均布荷载作用下简
21、支梁的剪力图和弯矩图。 【解】（1）求支座反力 MB=0: -FAy l +q l l/2=0 FAy=q l/2 （ ） MA=0: FBy l - q l l/2=0 FBy=q l/2 （ ） （2）定控制点：A右、B左。 （3）FQA右=+q l/2 , FQB左=-q l/2 如图(c)，连斜线。 MA=0, MB=0, 连向下凹的 抛物线，如图(d)。,A,B,q,l,q,A,B,FAy,FBy,l,ql/2,ql/2,ql 2/8,FQ图,M图,(a),(b),(c),(d),A,B,A,B,45,学习浅析,【例5-10】简支梁受一集中力偶，画剪力、弯矩图。 【解】（1）求支座反
22、力可得 FAy=Me/l () , FBy =-Me/l () （2）定控制点：A右、B左、C左、 C右。 （3）FQA右=Me/l ，FQB左= Me/l AB上无均布荷载，也无集中荷载， FQ图为水平线，如(c)图。 MC左=Mea/l ，MC右=-Mb/l ， MA=MB=0 , AC和CB段M图均为向 下斜的斜线，如图(d)。,A,B,Me,a,b,l,l,A,B,Me,FAy,FBy,a,b,Me/l,Mea/l,Mb/l,A,B,FQ图(kN),M图（kN.m),C,C,C,(a),(b),(c),(d),46,学习浅析,几个典型梁的剪力图和弯矩图：,F,a,b,l,Fb/l,Fa
23、/l,Fab/l,q,l,ql/2,ql/2,ql2/8,Me,a,b,l,Me/l,Mea/l,Meb/l,F,l,F,Fl,q,l,ql,ql2/2,Me,Me,l,FQ图,FQ图,FQ图,FQ图,FQ图,FQ图,M图,M图,M图,M图,M图,M图,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,47,学习浅析,【例5-11】外伸梁如图(a)所示，q=4kN,F=6kN,绘制剪力图和弯矩图。 【解】（1）求支座反力 FAy=10kN (), FBy=20kN () （2）定控制截面A 、B、C。 （3）求控制截面内力 A截面：FQA=Fqy=10kN MA=0 B截面：FQB左=FA- 6
24、q=-14kN FQB右=FAy-6q+FBy=6kN MB=FAy6-q63=-12kN.m C截面：FQC=F=6kN, MC=0 （4）画内力图,A,B,F,q,6m,2m,A,B,F,FAy,FBy,C,C,q,10,6,6,14,a,FQ图(kN),M图(kN.m),(a),(b),(c),(d),48,学习浅析,【例5-12】图示简支梁，F=6kN,a=2m，画内力图。 【解】（1）求支座反力 FAy=8kN (), FBy=13kN () （2）定控制截面A、C、D、B （3）计算控制截面内力 A截面：FQA=FAy=8kN, MA=0 C截面：FQC左=FAy=8kN FQC右
25、=FAy-F=8-6=2kN MC=FAya=82=16kN.m D截面：FQD左=2F-FBy=26-10=2kN FQD右=FBy=10kN MD=FBya=102=20kN.m B截面：FQB=Fby=10kN, MB=0 （4）画内力图,A,B,F,2F,a,a,a,(a),F,2F,FAy,FBy,a,a,a,(b),C,D,C,D,8,2,10,16,20,49,学习浅析,5.4.5用叠加法绘制弯矩图 条件：小变形,q,F=qL,F=qL,q,L/2,L/2,L/2,L/2,L/2,L/2,A,B,A,B,A,B,3qL2/8,qL2/4,qL2/8,+,+,M图(kN.m),(a),(b),(c),50,学习浅析,