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1、学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1二项式定理：(a b) nCn0anC n1an 1b L C nr an r brL C nn bn (n N ) ，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。二项式系数 : 展开式中各项的系数 C nr ( r0,1,2, , n) .项数：共 ( r 1)项，是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项 C nr a nr br 叫做二项式展开式的通项。用 Tr 1Cnr an r br表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(n1) 项。顺序：注意正确选择a , b,其顺
2、序不能更改。(a b)n 与 (ba)n 是不同的。指数： a 的指数从 n 逐项减到0 ，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0 , Cn1 ,Cn2 ,Cnr , Cnn . 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。4常用的结论：令 a1,bx,(1x)nCn0Cn1 xC n2 x 2LCnr xrLCnn xn (nN)令 a1,bx,(1x) nC n0Cn1 xCn2 x2LCnr xrL(1)n C nn x n ( nN )5性质：二项式系数的对称性：与首末两端
3、“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn ， CnkCnk 1二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为C n0C n1Cn2L CnrLCnn2n ，变形式Cn1C n2L C nrLCnn2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：1在二项式定理中，令a1,b1，则0123n nn，CnnnCnn(11) 0C CL (1)C从而得到： Cn0Cn2Cn4Cn2rC n1Cn3LCn2r112n2n12奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a x)nC n0a n x0Cn1a n 1x C n2 an 2 x2LC nn a 0x na0a1x1a2 x2Lan x n( x
4、a)nC n0a0 xnCn1ax n 1C n2 a2 x n 2L Cnn a n x0an xnL a2 x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3 Lan(a 1)n令 x1,则 a0a1a2a3Lan(a 1)n得 , a0a2a4 Lan( a1)n( a 1)n (奇数项的系数和)1)n21)n得 , a1a3a5 Lan( a(a2( 偶数项的系数和 )n二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2 取得最大值。n1n1如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2, Cn2同时取得最大值。系数的最大项：求(abx )n
5、展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 A1, A2, AnAr1Ar，从而解出 r 来。1 ，设第 r 1 项系数最大，应有Ar 2Ar1专题一题型一：二项式定理的逆用；例： Cn1Cn2 6 Cn3 62L C nn 6n 1.解： (16) nCn0Cn16Cn2 62C n363LCnn 6n 与已知的有一些差距，Cn1Cn2 6 C n3 62L Cnn 6n 11 (Cn1 6 Cn2 62L C nn 6n )61(Cn0Cn16Cn262LCnn6n1)1 (1 6) n11 (7 n1)666练： Cn13C n29Cn3L 3n 1 Cnn.2解：设
6、 SnCn13C n29C n3L3n 1C nn ，则3SnCn13 Cn2 32Cn3 33L C nn 3nCn0Cn13 Cn2 32Cn333L Cnn 3n1 (1 3) n 1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式 ( 413 x2 ) n 的展开式中倒数第3 项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？x解：由条件知 Cnn245 ，即 Cn245，n2n900 ，解得 n9(舍去 )或 n10 ，由Tr 1C10r (x12C10r x10 r2 r10 r2 r4 )10 r ( x3 ) r43 ，由题意3,解得 r 6 ，43则含有
7、 x3的项是第7项T61C106x3210 x3,系数为 210 。练：求 ( x21)9 展开式中 x9的系数？2 x解： Tr 1C9r ( x 2 )9 r (1 ) rC9r x18 2 r ( 1 )r x rC9r ( 1 )r x18 3r ，令 18 3r9 ,则 r 32x22故 x9 的系数为 C93(1)321。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 ( x21)10 的展开式中的常数项？2xr210r1rr1r205 r(x)(x2解： Tr 1 C10)C10( )2x2，令 205 r0 ，得 r8 ，所以 T9 C108 (1)84522256练：求二项式
8、 (2 x1 ) 6 的展开式中的常数项？2x解： Tr 1C6r (2 x) 6r ( 1)r ( 1 ) r( 1)r C6r 26 r ( 1 ) r x62r ，令 6 2r0 ，得 r3 ，所以 T4 ( 1)3 C632012x2练：若 ( x2)n 的二项展开式中第5 项为常数项，则n_.x解： T5 Cn4 (x2 )n 4 ( 1 )4Cn4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 (x3 x)9 展开式中的有理项？31127r，令 27 r解： Tr 1C9r ( x 2 ) 9 r ( x3 )r(
9、1)r C9r x 6Z ,( 0 r 9 )得 r3或 r9 ，6所以当 r3时， 27r4，T4(1)3 C93x 484 x4 ，6当 r9 时， 27 r3，T10( 1)3 C99 x3x3 。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 (x21) n 展开式中偶数项系数和为256，求 n .3x2解：设 (x21) n展开式中各项系数依次设为a0 , a1,an ,3x2令 x1 ,则有 a0a1an0, ， 令 x1 ,则有 a0a1a2a3( 1)n an 2n , 将 -得： 2(a1a3 a5)2n ,a1a3a52n1,有题意得，2n 125628 ，n
10、9 。练：若 (311n1024，求它的中间项。x52 ) 的展开式中，所有的奇数项的系数和为x解： Q Cn0Cn2Cn4Cn2 rCn1C n3LCn2 r 12n1 ，2n 11024，解得 n 11Cn5 ( 31)6(5 1) 5x 4 ， T6 161所以中间两个项分别为n6, n7，T51462462 x 15xx2题型六：最大系数，最大项；例：已知 ( 12x) n ，若展开式中第5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项2的系数是多少？解： Q Cn4Cn62Cn5 ,n221n980, 解出 n 7或n14，当 n7 时，展开式中二项式
11、系数最大的项是T4和T5T4的系数C73( 1 )4 2335 , ， T5的系数C74(1)32470, 当 n 14时，展开式中二项式系数最大222的项是 T8 ，T8的系数C147(1)7273432 。2练：在 (ab)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即T2 nTn 1 ，也就是第 n 1项。21练：在 ( x1 ) n 的展开式中，只有第5 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23x4解：只有第5 项的二项式最大，则n15 ，即 n8 ,所以展开式中常数项为第七项等于C86(1)2722练：写出在 ( a
12、b) 7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项 ( 第 4,5 项 )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C73a4 b3 的系数最小， T5C 74 a3b4 系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求 (12 x) n 的展开式中系数最大的项？211解：由 C n0C n1Cn279, 解出 n12 ,假设 Tr1项最大， Q (2x)12()12(14 x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 1r10.4，又 Q 0r12 ，r10 ，展开式中系数最C12r 4r，化简得到 9.4Ar 1Ar 2C
13、12r 1 4 r 1大的项为 T11 ,有 T11(1)12 C1210 410 x1016896 x102练：在 (12 x)10 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设 Tr1 项最大， Q Tr1C10r2r xrAr1ArC10r 2 rC10r1 2 r12(11r )r，化简得到6.3k7.3，又Q0r10，C10r 2 rC10r 1 2r1 ,解得Ar1Ar2r12(10r )r7，展开式中系数最大的项为T8C107 27 x715360 x7 .题型七：含有三项变两项；例：求当 ( x23x2) 5 的展开式中 x 的一次项的系数？解法： ( x23x2)5( x22)3x
14、 5 ， Tr1 C5r ( x22)5r (3 x)r，当且仅当 r1 时， Tr 1 的展开式中才有 x的一次项，此时 Tr 1T2C51 (x 22) 4 3x ，所以 x 得一次项为 C 51C 44 243x它的系数为 C51C 44 243240 。解法： ( x23x2)5( x1)5 ( x2) 5(C50 x5C51x4C55 )(C50 x5C51 x4 2C55 25 )故展开式中含 x 的项为 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展开式中 x 的系数为 240.练：求式子 ( x12) 3 的常数项？x解： ( x12) 3(x1)6 ，设第 r1项为常数
15、项，则Tr 1C6r (1)r6r( 1)6 C6r62 rx( 1 )rx，得xxx56 2r 0 , r 3 ,T3 1( 1)3 C6320 .题型八：两个二项式相乘；例： 求(12x) 3(1x)4 展开式中 x2的系数 .解：Q(12x)3的展开式的通项是C3m (2 x)mC3m2m xm ,(1 x)4的展开式的通项是 C 4n(x)nC 4n1n xn ,其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令 mn 2,则 m0且 n2, m1且 n 1,m2且 n0,因此 (12x)3 (1x) 4的展开式中 x2的系数等于 C3020 C42 ( 1)2C3121C41(1)
16、1C3222C40 (1)06 .练： 求(13 x)6 (11 )10 展开式中的常数项 .4xmn4m 3 n解：(1 3x )6 (11 )10 展开式的通项为 C6m x 3C10n x4C6mC10nx124 x其中m 0,1,2,6, n 0,1,2,当且仅当4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为C60C100C63C104C66 C1084246.练： 已知 (1 x x2 )( x1 )n的展开式中没有常数项, nN*且2n8,则 n _.x3解： (x13 )n 展开式的通项为 C nrxnr x 3rC nrxn 4r , 通
17、项分别与前面的三项相乘可得xCnr xn 4 r ,C rnxn 4r 1,C nrxn 4 r2 ,Q 展开式中不含常数项, 2n8n 4r且 n 4r1且 n4r2，即 n4,8且 n3,7且 n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例： 在( x2) 2006的二项展开式中 , 含 x的奇次幂的项之和为S,当 x2时, S_.解： 设( x2) 2006 =a0a1 x1a2 x2a3 x3La2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1 x1a2 x2a3 x3 La2006 x2006 - 得 2(a xa x3 a x5Lax2005 )( x2) 20
18、06(x2) 20061352005(x2) 2006 展开式的奇次幂项之和为S( x)1 ( x2) 2006(x2) 2006 2632006当 x2时,S(12)2006( 22)20062230082)(2222题型十：赋值法；例：设二项式 (3 3 x1 )n 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若xp s 272 ,则 n 等于多少？解：若 (3 3 x1)na0a1 xa2 x2an x n ，有 Pa0a1an ， SCn0Cnn2n ，x令 x1 得 P4n ，又 ps 272 ,即 4n2n272(2 n17)(2 n16)0 解得 2n16或 2n17
19、(舍去) ，n4 .1n练：若 3x的展开式中各项系数之和为64 ，则展开式的常数项为多少？x1n解：令 x1 ，则3 x的展开式中各项系数之和为2n64 ，所以 n6 ，则展开式的常数项为xC63 (3x )3 (1 )3540 .x练： 若(12x)2009a0a1x1a2 x2a3x3解： 令 x1 ,可得 a0a1a2a2009222222009在令 x 0可得 a01,因而 a1a2222练： 若( x 2)5a5 x5a4 x4a3x3a2 x2Lax2009 ( xR), 则 a1a2a2009 的值为2009222220090,a1a2a2009a022222009a20091
20、.22009a1x1a0 ,则 a1 a2a3 a4a5_.解： 令 x0得 a032, 令 x1得 a0a1 a2a3 a4a51,a1a2a3a4a531.题型十一：整除性；例：证明： 32n28n 9( nN*)能被 64整除证： 32 n 28n99n 18n9(81)n 18n9Cn0 1 8n 1Cn1 1 8nCnn 11 82C nn 181Cnn 118n 9Cn0 18n 1C n1 1 8nCnn 11 828( n 1) 1 8n 9 C n0 1 8n 1Cn1 1 8nC nn 11 82由于各项均能被64 整除32 n28n 9( n N * )能被 64整除71
21、、 (x 1) 11 展开式中x 的偶次项系数之和是1、设 f(x)=(x-1) 11, 偶次项系数之和是f (1) f ( 1)( 2)11 / 2102422、 Cn03C1n32 C n23n Cnn2、2、4n3、(3 51) 20 的展开式中的有理项是展开式的第项53、3,9,15,214、 (2x-1) 5 展开式中各项系数绝对值之和是4、 (2x-1) 5 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5 展开式系数之和，故令x=1，则所求和为 355、求 (1+x+x2)(1-x) 10 展开式中 x4 的系数5、(1 x x 2 )(1x)10(1x 3 )(1x )9,要
22、得到含 x4 的项，必须第一个因式中的1 与 (1-x) 9 展开式中的项 C 94 (x ) 4 作积，第一个因式中的x3 与 (1-x) 9 展开式中的项 C91 (x) 作积，故 x4 的系数是 C19C941356、求 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x) 10 展开式中 x3 的系数6、 (1 x )(1x )2（110(1x )1 (1x) 10 ( x1)11( x1)，原式中 x3 实为这分子中的x4，则所x）1(1x )=x求系数为 C1177、若 f ( x)(1x) m(1x) n (mnN ) 展开式中， x 的系数为21，问 m、 n 为何值时， x2 的系数最小
23、？7、由条件得m+n=21 ， x2 的项为 C m2x 2C n2 x 2 ，则 C m2C n2(n21) 2399 . 因 n N，故当 n=10 或 11 时上式m=11 和 n=10 ，或 m=10 和 n=11 时， x2 的系数最小24有最小值，也就是8、自然数 n 为偶数时，求证：1 2C1nC n22C n3Cn42C nn 1C nn3 2n 18、原式 = (C0n C1nC n2C nn 1Cnn )(C1nC n3C n5Cnn1 )2n2n 13.2n 19、求 8011 被 9 除的余数9、 8011(811)11C1108111C111 8110C1110 81181k1(kZ ) ,8