高考数学试题分类汇编——不等式.doc

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1、20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编不等式不等式 一、选择题部分一、选择题部分 （20102010 上海文数）上海文数）15.满足线性约束条件 23, 23, 0, 0 xy xy x y 的目标函数zxy的最大值是 答（ ） （A）1. （B） 3 2 . （C）2. （D）3. 解析：当直线zxy过点 B(1,1)时，z 最大值为 2 （20102010 浙江理数）浙江理数）（7）若实数x，y满足不等式组 330, 230, 10, xy xy xmy 且xy的最大值为 9，则实数m （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将

2、 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C， 本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数）（5）不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 （A）2,3x xx或 （B）213x xx，或 （C） 213xxx ，或 （D）2113xxx ，或 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法. 【解析】利用数轴穿根 法解得-2x1 或 x3，故选 C （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数）(5)若变量 x,y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则

3、z=2x+y 的最大值 为 （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析解析】C】C：本题考查了线性规划的知识。：本题考查了线性规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 yx 与与3 25xy 的交点为最优解点，的交点为最优解点， 即为（即为（1 1，1 1），当），当 1,1xy 时时 max 3z （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数）（2）不等式 3 2 x x 0 的解集为 （A）23xx （B）2x x （C）23x xx 或 （D） 3x x 【解析解析】A】A ：本题考查了不等式的解法：本题考查了不等式的解法 3

4、 0 2 x x ， 23x ，故选，故选 A A （20102010 江西理数）江西理数）3.不等式 22xx xx 高考资源*的解集是（ ） A. (0 2)， B. (0)， C. (2)， D. (0)（-，0）， 【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. 2 0 x x ，解得 A。 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。 （20102010 安徽文数）安徽文数）（8）设 x,y 满足约束条件 260, 260, 0, xy xy y 则目标函数 z=x+y 的最大值 是 （A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 8.C 【解析】不等式表

5、示的区域是一个三角形，3 个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数 zxy在(6,0)取最大值 6。 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则 区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最 大值. （2010 重庆文数）（7）设变量, x y满足约束条件 0, 0, 220, x xy xy 则32zxy的最大值为 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线32zxy过点 B 时，在 y 轴上截距最小，z 最大 由 B（2,2）知 max z4 解析：将最大值转化为

6、y 轴上的截距，可知答案选 A，本题主要考察了用平面区域二元一 次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 （20102010 重庆理数）重庆理数）（7）已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. 11 2 解析：考察均值不等式 9 2 2 2 2 8)2(82 yx yxyx，整理得032242 2 yxyx 即08242yxyx，又02yx，42yx （20102010 重庆理数）重庆理数）（4）设变量 x，y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy ，则 z=2x+y 的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.

7、8 解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B（3,0）的时候，z 取得最大值 6 （20102010 北京理数）北京理数）（7）设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D，若指数函数 y= x a的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, 答案：A （20102010 四川理数）四川理数）（12）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最小 值是 （A）2 （B）4 （C） 2 5 （D）5 解析： 22 11 21025 () aacc a

8、ba ab 22 11 (5 ) () acaabab aba ab y 0 x70 48 80 70 (15,55) 2 11 (5 )() () acaba ab aba ab 0224 当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1 时等号成立 如取a2,b 2 2 ,c 2 5 满足条件. 答案：B （20102010 四川理数）四川理数）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产 品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品 获利 40 元，乙车 间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50 元.

9、甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车 间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大 的生产计划为 （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 70 106480 , xy xy x yN 目标函数z280 x300y 结合图象可得：当x15,y55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案：B （2010

10、2010 天津文数）天津文数）(2)设变量 x，y 满足约束条件 3, 1, 1, xy xy y 则目标函数 z=4x+2y 的最大 值为 （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【答案】B 【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做 出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交 点（2，1）时 z 取得最大值 10. （20102010 福建文数）福建文数） （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）（10）设 1 2 3 log 2,ln2,5abc 则 （A）abc（B）bca (C) cab (D) cba 10.C 【命题意图】

11、本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实 数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= 3 log2= 2 1 log 3 , b=In2= 2 1 log e ,而 22 log 3log1e,所以 ab, c= 1 2 5 = 1 5 ,而 22 52log 4log 3,所以 ca,综上 cab. 【解析 2】a= 3 log2= 3 2 1 log ,b=ln2= 2 1 loge , 3 22 1loglog2 e ， 3 22 111 1 2logloge ； 0 xy 1 O yx y 20 xy x A0: 20lxy L0 2

12、2 A c= 1 2 111 5 254 ，cab （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(3)若变量, x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy 则2zxy的最大 值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图）， 11 2 22 zxyyxz，由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 max 1 2 ( 1)3z . （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）（8）设a= 3 log2,b=ln2,c= 1 2 5 ,则 （

13、A） abc （B）bca （C） cab （D） cba （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （20102010 四川文数）四川文数）（11）设0ab，则 2 11 a aba ab 的最小值是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析： 2 11 a aba ab 2 11 () aabab aba ab 11 () () aba ab aba ab 224 当且仅当ab1,a(ab)1 时等号成立 如取a2,b 2 2 满足条件. 答案：D （20102010 四川文数）四川文数）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出 B产品.甲车间加工一箱原料

14、需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获 利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获 利 50 元.甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总 和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 y 0 x70 48 80 70 (15,55) （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 解析

15、：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 70 106480 , xy xy x yN 目标函数z280 x300y 结合图象可得：当x15,y55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案：B （20102010 山东理数）山东理数） （20102010 福建理数）福建理数）8设不等式组 x1 x-2y+30 yx 所表示的平面区域是 1 ,平面区域是 2 与 1 关于直线3490 xy对称,对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B, |AB的 最小值等于( ) A 28 5 B4 C 12 5 D2 【答案】B 【解析】由题意知，所求的|AB的最小值，即为区域

16、 1 中的点到直线3490 xy的 距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 可看出点（1，1）到直线3490 xy的距离最小，故|AB的最小值为 |3 14 1 9| 24 5 ，所以选 B。 二、填空题部分二、填空题部分 （20102010 上海文数）上海文数）2.不等式 2 0 4 x x 的解集是 24|xx 。 解析：考查分式不等式的解法 2 0 4 x x 等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x0,b0,称 2ab ab 为 a，b 的调和平均数。如图，C 为线 段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆。过点 C 作

17、 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线 段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线 段 的长度是 a,b 的调和平均数。 15.【答案】CD DE 【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得 2 CDAC CB，故CDab，即 CD 长度为a,b的几何平均数，将 OC= , , 222 ababab aCDabOD 代入OD CEOC CD可得 ab CEab ab 故 2 22 () 2() ab OEOCCE ab ，所以 ED=OD-OE= 2ab ab ，故 DE 的长度

18、为a,b的调和平均数. （20102010 江苏卷）江苏卷）12、设实数 x,y 满足 3 2 xy8，4 y x2 9，则 4 3 y x 的最大值是 。 解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 2 2 ()16,81 x y ， 2 11 1 , 8 3xy ， 32 2 42 1 ()2,27 xx yyxy ， 4 3 y x 的最大值是 27。 三、解答题部分三、解答题部分 （2010 广东理数）广东理数）19.（本小题满分 12 分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含

19、 8 个单位的碳水化合物，6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚, x y 餐，共花费元，则。z2.54zxy 可行域为 12 x+8 y 64 6 x+6 y 42 6 x+10 y 54 x0， xN y0， yN 即 3 x+2 y 16 x+ y 7 3 x+5 y 27 x0

20、， xN y0， yN 作出可行域如图所示： 经试验发现，当 x=4,y=3 时，花费最少，为 =2.54+43=22 元来源:21 世纪教育网 KS2.54zxy （20102010 广东文数）广东文数）19.（本题满分 12 分） 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位 的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水 化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外， 该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合 物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午

21、餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当 为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位 的晚餐，设费用为 F，则 Fyx45 . 2，由题意知： 64812 yx 4266yx 54106yx 0, 0yx 画出可行域： 变换目标函数： 48 5F xy （2010 湖北理数）15.设 a0,b0,称为 a，b 的调和平均数。如图，C 为 2ab ab 线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆。过 点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过点 C 作 OD 的垂线， 垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 15.【答案】CD DE 【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得，故， 2 CDAC CBCDab 即 CD 长度为 a,b 的几何平均数，将 OC= 代入可得, , 222 ababab aCDabOD OD CEOC CD 故，所以 ED=OD-OE=，故 ab CEab ab 2 22 () 2() ab OEOCCE ab 2ab ab DE 的长度为 a,b 的调和平均数.