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1、,向量的内积、长度及正交性,1,方阵的特征值与特征向量,2,相似矩阵,3,对称矩阵的对角化,4,相似矩阵及二次型,二次型及其标准型,5,正定二次型,6,第五章 相似矩阵及二次型,内 容 概 要,第五章 相似矩阵及二次型,二次型及其标准型,1. 掌握二次型及其有关概念,掌握化二次型为标准型的两种方法 正交变换法、配方法,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,引 例,对于一般的二次曲线,，只要选取适当的坐标旋转变换,就可将曲线方程化为标准型,（二次齐次式，只含平方项）,在物理、力学及工程也有类似的问题，且往往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。,一 二
2、 次型有关概念,含有 n 个变量 的二次齐次多项式,称为 n 元二次型。,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,二次型,主要,问题,寻找可逆的线性变换,二次型的标准型,规范型,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,一 二 次型有关概念,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,A为对称矩阵,一 二 次型有关概念,（1） A一定是对称阵；,（4）标准型的矩阵为对角阵；,（5）规范型的矩阵也是对角阵,（2） A 的对角线上的元素 恰为 的系数，,对角元只能为1，-1或0 。,（3） 是 的系数的一半；,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,一 二 次型有关概念,称实矩阵 A 为二次型 f 的矩
3、阵。,f 与 A可建立一一对应的关系,即给了二次型 ，就可以得到实对称矩阵 A; 反之，给出了一个实对称矩阵 A，就可写出一个二次型 f 。,A的秩就是二次型 f 的秩。,一 二 次型有关概念,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,将二次型,写成矩阵形式,课 堂 练 习,答案,，并求出 f 的秩。,练习,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,二 正 交 变 换 法,前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：,寻找可逆的线性变换,记,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,就可将 f 转化为标准型,二 正 交 变 换 法,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,前边提到将二次型化为标准型的主要
4、问题为：,寻找可逆的线性变换,因为实二次型的矩阵 A 为实对称方阵，故对,任一个 n 元实二次型,，一定可以找到,一个正交变换,，使得,其中,为实对称方阵 A 的特征值。,其中,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,C的列向量是矩阵A的两两正交的单位向量，,其中第j列是j对应的特征向量,二 正 交 变 换 法,求正交变换,将二次型 化为标准形。,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,课 堂 练 习,P130 例14,合同的定义与性质,设 A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵C，使,，我们称 A 与 B,（1） 当 C 为正交阵时，,因而正交相似变换也是合同变换。,（2） A 与 B 合同,A，B
5、 的特征值中正项个数和负项个数相等。,合同。,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,配 方 法,用正交变换法化二次型成标准型，具有保持,向量长度不变（设 Q为 n阶正交阵，y=Q x,则 ）的优点。如果不限于用正交变换，还有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。,配方法,含有平方项 xi2,不含有平方项 xi2 ，只有交叉项 xi xj,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,化二次型,成标准型，并求所用的变换矩阵。,解 由于 f 中含变量 x1 的平方项,故把含 x1 的项 归并起来，配方可得,不再含x1,继续配方，可得,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,配 方 法,化二次型,令,
6、即,就把 f 化成标准型（规范型）,所用的变换矩阵为,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,成标准型，并求所用的变换矩阵。,配 方 法,解 由于 f 中不含平方项, 含 x1 x2 的乘积项 ， 故令,代入可得,再配方，得,令,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,配 方 法,成规范型，并求所用的变换矩阵。,化二次型,令,即,就把 f 化成规范型,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,配 方 法,成规范型，并求所用的变换矩阵。,化二次型,因为 x=c1y=c1c2z , 故所用的变换矩阵为,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,配 方 法,成规范型，并求所用的变换矩阵。,化二次型,小
7、结,二次型的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含的项数（系数0）确定（即是二次型的 秩 。,在限定变换为实变换时，标准型中正系数的个数是不变的（负系数的个数也不变）。这与选择的线性变换无关。,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,求一可逆变换将该二次型化成标准形，并求出规范形。,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,课 堂 练 习,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,课 堂 练 习,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,课 堂 练 习,所用的可逆变换为,方程,在空间直角坐标系下表示什么曲面？,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,课 堂 练 习,解：由练习1（P130，例14）,
8、的标准型为,故,在空间直角坐标系下表示单页双曲面,设二次型,试求 a ，b 及,经正交变换 化成 ，,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,课 堂 练 习,经正交变换 化成 ，,解：二次型 f,正交阵Q 。,意味着 f 的矩阵A的特征值为0,1,2,惯 性 定 理,中正数的个数相等。,使,及,正惯性指数,负惯性指数,从而负数的个数也相等。,设二次型 f 的正惯性指数为 p ,秩为 r,则 f 的规范型可确定为,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,的秩为,正惯性指数为,负惯性指数为,正（负）惯性指数等于 矩阵正（负）特征值的个数，即标准形中正（负）平方项的个数。,2,1,1,5.5 二 次
9、 型 及 其 标 准 型,惯 性 定 理,想 一 想,解：二次型 f,意味着 f 的矩阵A的特征值为0,1,2,经正交变换 化成 ，,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,2. 设二次型 (b 0)，其中 f 的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为12， （1）求 a, b的值。 （2）用正交变换化 f 为标准型，并写出所用的正交 变换及对应的正交矩阵。,想 一 想,解：,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,想 一 想,解：,的秩为2，意味着 A的行列式等于0,由此求出 c =3 , A的特征值为0,4,9,表示椭圆柱面。,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,4. 已知 的秩为2， （1）求 a 的值； （2）求正交变换 X = QY，把 f 化为标准形; （3）求方程 f (x1, x2, x3) = 0的解。,想 一 想,(3),(1) a =0 , A的特征值为0,2,2,解：,5.5 二 次 型 及 其 标 准 型,谢谢,33,全面分析,