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1、泛函分析习题解答1 、设 ( X , d ) 为一度量空间，令 U ( x0 ,) x | xX, d (x, x0 )S( x0 ,) x | xX , d (x, x0 ) ，问U ( x0 ,) 的闭包是否等于S( x0 , ) 。解答：在一般度量空间中不成立U (x0 , )S( x0 ,) ，例如：取R1 的度量子空间 X0,1U 2,3 ，则 X 中的开球 U (1,1) x X ; d(1,x) 1 的的闭包是0,1 ，而 S(1,1) xX ; d (1, x)10,1 U 22 、设 C a,b 是区间 a, b 上无限次可微函数全体，定义 d ( f , g)1| f (
2、r ) (t ) g (r ) (t ) |2rmax( r )(t)g( r )，证明：r 0at b1 | f(t ) |C a, b 按 d ( f , g ) 构成度量空间。证明： （ 1 ）显然 d( f , g )0且 d ( f , g) 01| f (r ) (t )g (r ) (t) |0r ,t a,b 有r ,r max| f( r )(t)g(r )(t ) |2t b1a| f ( r ) (t ) g( r )(t ) | 0 ，特别当 r0,t a, b 时有 | f(t)g(t ) |0t a, b 有f (t )g(t ) 。t（ 2）由函数 f (t )t
3、在 0,) 上单调增加，从而对f , g, hC a, b 有1d ( f , g)1max| f ( r ) (t ) g (r ) (t ) |2r1| f( r )(t)( r )(t) |r0a t bg=1max| f (r ) (t )h(r ) (t)h( r ) (t)g( r ) (t ) |r02ratb 1| f ( r ) (t)h(r ) (t )h(r ) (t)g( r ) (t) |1max| f (r ) (t )h( r ) (t) | h(r ) (t )g (r ) (t) |r| f(r )(t )h(r )(t ) |( r )(t)g(r )(t
4、) |r02at b 1| h=1max|f ( r ) (t )h(r ) (t) |0 2r| f( r )(t)( r )(t) |( r )(t )g(r )(t) |ratb 1h| h1max1| f (r ) (t )| h(r ) (t )g ( r ) (t) |g (r ) (t ) |r02rat bh(r ) (t) | h( r ) (t)1max|f ( r ) (t )h(r ) (t ) |1max| h( r ) (t)0 2r| f( r )(t)( r )(t )|r| h(r )(t)ratb 1hr 0 2a tb 1d ( f , h)d ( h,
5、g )( r )g(t ) |即三角不等式成立d ( f , g)d ( f , h)d (h, g ) 。3 、设 B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集O1, O2 ,L On ,L 包含 B ，而且 IOnB 。n 11证明：设 B 为度量空间X 中的闭集，作集：On x | d ( x, B),( n1,2,) ， On 为开集，从而只要n证 B I On ；n 1可实上，由于任意正整数n ，有 BOn ，故： BIOn 。n1另一方面，对任意的x0IOn ，有0 d (x0 , B)1， (n 1,2 )nn1令 n有 d (x0 , B)0 。所以 x0B （因 B 为闭集）
6、。这就是说，I OnBn 1综上所证有： BIOn 。n14 、设 d ( x, y) 为度量空间 ( X , d) 上的距离，证明d (x, y)d ( x, y)也是 X 上的距离。1d( x, y)证明：首先由 d (x, y) 为度量空间 (X , d) 上的距离且 d ( x, y)d (x, y)0，因此显然有 d( x, y) 且 d (x, y)1d (x, y)的充要条件是 d ( x, y)0，而 d( x, y)0 的充要条件是xy ，因此 d (x, y)0 的充要条件是 x y 。其次由函数t在 0,) 上单调增加有f (t)1td( x, y)d ( x, y)d
7、(x, z)d ( y, z)d ( x, y)1d (x, z)d( y, z)1d (x, z)d ( y, z)1d( x, z)d ( y, z)1d (x, z)d ( y, z)d ( x, z)d ( y, z)d ( x, z)d ( y, z)1d( x, z)1d ( y, z)即三角不等式成立。所以d (x, y) 也是 X 上的距离。5 、证明点列 fn 按题2 中距离收敛于fC a, b 的充要条件为f n 的各阶导数在 a,b 上一致收敛于f 的各阶导数。证明：由题 2 距离的定义： d ( f , g)1max| f ( r ) (t) g (r ) (t ) |
8、则有：r1 | f(r )(t)g(r )(t ) |r 0 2a t b若 fn 上述距离收敛于f，则 d( fn , f )1max| f n(r ) (t)f ( r ) (t )|0(n) 。所以对任何非负整r 0 2ra t b 1 | fn ( r ) (t )f ( r ) (t ) |数 r 有： max| fn (r ) (t )f ( r ) (t) |2r d( fn , f )0(n) 。由此对任何非负实数 r 有at b 1| fn (r ) (t )f (r ) (t) |max | fn( r ) (t)f ( r ) (t ) |0( n) 。a tb从而对任何
9、非负整数r ， f n 的各阶导数fn( r )在 a,b 上一致收敛于f 的各阶导数 f (r ) 。反之：若对每个r ， fn 的各阶导数f n( r )在 a,b 上一致收敛于f的各阶导数f (r ) ，则对每个 r 0,1,2,L有max | fn (r ) (t )f ( r ) (t) |0(n) ，则0,N r ,nN r 有： max| fn( r ) (t)f (r ) (t ) |a t batb从而对任意的非负实数|fn (r ) (t )f ( r ) (t) |r 有： max| fn (r ) (t )。又由于a t b 1f (t) | 1从而；1R 1 2r1|
10、 fn (r ) (t )f (r ) (t) |1，于是0, R 有：d ( fn , f )max( r ) (t)f (r ) (t ) |r 0 2rr 0 2ra t b 1 | f n。从而取 Nmax( N 0 , N1,L N R ), nN 时d ( fn , f )1max| fn (r ) (t )f ( r ) (t) |r0 2ra t b 1| fn (r ) (t)f (r ) (t) |R1max| fn (r ) (t )f (r ) (t) |1max| fn (r ) (t )f (r ) (t) |r( r )(t)f(r )r( r )(t)f(r )
11、(t ) |r 02at b1 | f n(t ) | r R 1 2at b 1| fnR111+2(11 ) R 123 .1+ r 0 2rr R 1 2r2于是0,N ,nN 有 d( f n , f )。从而点列 fn 按题 2中距离收敛于fC a,b 。7 、设 E 及 F 是度量空间中两个集，如果d (E, F )0 ，证明必有不相交开集O 及 G 分别包含 E 及 F 。证明：记 rd (E, F )inf d (x, y)0 。xE ，以x1d (x, F ) 为半径作点 x 的邻域x2E , y FU ( x,x ) ，令 OUU ( x,x ) ，则 O 是开集且 EO
12、。同理可作开集G ，使得x FFG UU ( y, y )( y1 d ( y, E) 。y F2余证 O I G，如若不然即O I G，则存在 PO I G，由 O 及 G 的作法可知，必有 x E, yF ，使得P U (x, x ), P U ( y, y ) ，即 d( x, P) d ( x, y)x1 d ( x, F ) ， d( y, P)y21 d( x, F )d (x, P) d ( y, P)21 d ( y, E) 。从而有2d( y, E)另一方面 d (x, F )d ( x, y) ， d ( y, E)d( x, y) ，从而有d( x, y)1 d (x,
13、F ) d ( y, E ) d( x, y) ，2由于 d ( x, y)d (E, F )rinfd ( x, y)0 ，故得矛盾。因此O I G。x E , y F9 、设 X 是可分距离空间，F 为 X 的一个开覆盖，即F 是一族开集，使得对每个xX ，有 F 中的开集 O ，使 xO ，证明必可从F 中选出可数个集组成X 的一个开覆盖。证明： 因 X 是可分距离空间， 所以在 X 中存在可数稠密子集B x1, x2 ,L xn L 。因 F 是 X 的一个开覆盖。因此xX ，存在 F 中的开集 O ，使得 xO 且 x 是 O 的内点。存在r0 ，使xU ( x,r )O ，因 B
14、在X 中稠密， 从而可在 U ( x, r ) 上取出4B 中的点xk ，再取有理数r，使得r4rr2（此处的有理数r与 x, xk 均有关系）于是xU ( xk , r )U ( x,r )O ，由xX的任意性从而满足该条件的开集O的全体覆盖X 。又由于U (xk , r ) 的xk 和 r均为可数故这种开集O的全体至多可数。10 、设X是距离空间，A 为X中的子集，令f (x)infd (x,y), xX，证明f ( x)是X上的连续函数。xA证明：x, x0X，则由d ( x, y)d( x, x0)d( x0 , y)可得inf d ( x, y)yAd (x, x0 )inf d (
15、x0 , y)yAf (x)d( x, x0 )f ( x0 )f ( x)f ( x0 )d( x, x0 )同 理 可 得 ：f (x0 )f ( x )d ( x, x0 )| f ( x)f ( x0 ) |d( x, x0 )。 因 此 当xx0即 d (x, x0 )0时 有| f (x)f (x0 ) |0 。所以f ( x)inf d ( x, y), x x AX在x0 处连续，由x0 在X上的任意性得f (x)inf d (x, y)在X上连续。x A14 、Cauahy点列是有界点列。证明：设 xn 是度量空间中的( X , d) 中的 Cauahy 点列，则0,N ,
16、n,mN 有 d ( xn , xm )。特别取1 ，N 则对任意的n, mN 有 d (xn , xm) 1 ，则sup d ( xn , xm) 1 ，即点列 xn , nN1 的直径n.mN( xn , nN 1) 1 ， 从 而 点 列 xn , n N1 是 ( X , d )有 界 集 。 其 次 对 于 xn ,1 nN1 ， 取Mmax d ( xi , x j ,1i, jN1 ，则( xn ,1n N1)M 即 xn ,1 n N1 是 ( X , d ) 中的有界集。又集 xn xn ,1 nN1 U xn , n N1 ，所以 xn 有界。设 ( X ,|g|) 是 赋
17、 范 空 间 ， xn 是 ( X ,|g|) 中 的 Cauahy点 列 点 列 ， 则0,N ,n,mN 时 有| xnxm |，今取1 ，则N ，使得 | xn xN 1 | 1。nN ,| xn | | xN 1 |1，取M| x1 |,| x2 |,L| xN|,| xN 1 |1 ，则n ，有 | xn |M 。所以点列 xn 有界。18 、设 X 为完备度量空间，A 是 X 到 X 中的映射，记 ansup d ( An x, An x ) ，若an，则映射 A 有x xd ( x, x )n 1唯一不动点。证明：因an，由级数收敛之必要条件有lim an 0 ，于是对于 01， N ， n N 时有 | an | 。n 1n于是 nN 时， d ( An x, An x )d( An x, An x )d ( x, x ) 。从而从 N1后，映射 A 是 X 到 X 的压缩映射。d (x, x )又由于 X 是完备的，所以映射A 有唯一不动点。