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1、角平分线的性质,驶向胜利的彼岸,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,情境问题,1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,情境问题,A,D,B,C,E,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？,2、证明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 对应边相等） AC平分DAB
2、（角平分线的定义）,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,O,探究新知,N,O,M,C,E,1平分平角AOB 2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,实践应用(1),探究角平分线的性质,(1)实验：画一个AOB,用尺规作出AOB的平分线OP,过P作PD OA,PE OB 问题：比较PD和PE 的大小关系（量一量）。 PD=PE 再换一个新的位置看看情况会怎样？,(2)猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明：OC平
3、分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO=90（垂直的定义） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: PD=PE,(3)验证猜想,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知“一个点在一个角的平分线上”。结论为“这个点到这个角两边得距离相等”,角平分线上的点到角两边的距离相等。,得到角平分线的性质：,利用此性质怎样书写推理过程?,归纳：,如图，
4、要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）,解决实际问题,S,解： 设OD=Xm 则由题得 = 解得x=0.025m 即OD=2.5cm 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。,分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件,DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.,试试自己写证明。你一定行！,已知：如图，ABC中 C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在A
5、C上BD=DF， 求证：CF=EB。,应用与提高,证明： AD平分CAB DEAB，C90（已知） CDDE (角平分线的性质) 在tCDF和RtEDB中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） RtCDFRtEDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边相等）,如图，E是AOB的角平分线OC上的一点， EMOB垂足为M，且EM=3cm，求点E 到OA的距离,分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。,解：过E作ENOA垂足为N E是AOB的角平分线上的一点， EMOB， ENOA， EM=EN 又 EM=3cm， EN=3cm 即点
6、E 到OA的距离为3cm。,E,课堂练习,M,已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.,证明： AD平分CAB DEAB ，DFAC(已知) DE=DF (角平分线的性质) 在tBED和RtCFD中, BD=CD （已证） DE=DF （已知） Rt BED RtCFD (HL) BE=FC （全等三角形对应边相等）,回味无穷,性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言： OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点 PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,再见,