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1、初中数学整式乘法的直观解释义务教育数学课程标准指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，几何直观可以帮助学生直观地理解数学”在整式乘法的学习过程中，利用拼图这一几何直观的手段，不但可以促进学生对乘法公式的理解，还能帮助学生有效积累拼图直观与公式推理互相印证的数学活动经验，使他们加深对数形结合重要思想的感悟，使他们的数学能力上升到一个新的水平1 乘法公式的直观解释例1（2006，包头）利用如图1所示的几何图形的面积可以表示的公式是（ ）（A）（B）（C） （D）图1解析：大正方形被分割成四个四边形，所以大正方形的面积等于四个四边形面积的和，从而=，故选C拓
2、展：（2011，青岛）如图1，把边长为a+b（ab）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小提示：依题意，所以，因为ab，所以，故，MN例2（2007，甘肃白银）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图2（1），然后拼成一个如图2（2）所示的平行四边形那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）（A）（B）（C）（D） （1）（2）图2解析：图2（1）中阴影部分的面积是，分割成四个相同的等腰梯形后，相对两个梯形的高之和为（），从而图2（2）中平行四边形的高为
3、，底为（a+b），面积是，故选D例3（2009，内江）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）如图3（1），把余下的部分拼成一个矩形，如图3（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）（A）（B）（C） （D） （1）（2）图3解析：图3（1）中，阴影部分的面积是两正方形面积之差，图3（2）中，阴影部分是长为（a+b）、宽是（a-b）的长方形，其面积是，故利用图3可以验证，应选C例4（2006，湖北荆门）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ab），再沿虚线剪开，如图4（1），然后拼成一个梯形，如图4（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）（A）（
4、B）（C）（D） （1）（2）图4解析：图4（1）中阴影部分的面积是，该图被分割成两个直角梯形后，每个梯形的两底分别为a和b，高为，从而每个梯形的面积是，所以图4（2）的面积是。故选A事实上，不用拼成图4（2），直接用图4（1）亦可验证例5（2007，鄂尔多斯）如图5（1），在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，如图5（2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是（用字母表示） （1）（2）图5解析：图5（1）的分割方式同例4，每个直角梯形的高为，从而图5（2）中的矩形的宽为，又该矩形的长为，所以其面积为可以验证的乘法公式是例
5、6（2007，衢州）如图6是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式图6（1）请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图要求：拼成的图形是四边形；在图上画出剪切线（用虚线表示）；在拼出的图形上标出已知的边长（2）选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程解析：此题是对例3至例5中所分析内容的综合考察，不再赘述2 整式乘法的拼图诠释例7（2006，邯郸）如图7（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图7（2）的形状拼成一个正方形（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不
6、同的方法求图7（2）中阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出三个代数式、之间的等量关系吗？（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求的值 （1）（2）图7待添加的隐藏文字内容2解析：（1）观察图（2），不难得出图7（2）中的阴影部分的正方形的边长等于（）；（2）方法一：阴影部分是边长为（m-n）的正方形，故；方法二：阴影部分是图（2）中的大正方形减去4个小长方形等到的，所以；（3）由（2）的分析可知，；（4）由（3）中的结论知，=例8（2011，衢州）有足够多的长方形和正方形卡片，如图8 图8（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个
7、长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义；（2）小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片 张，3号卡片 张解析：（1）选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可参考如图9中的拼图方法： 图91至3号卡片的面积分别为、，所以可拼成的长方形面积为，即，从图中可以看出，所拼成的矩形的两边长分别为（）和（），由此知该拼图的代数意义可表示为：=；（2）因为1至3号卡片的面积分别为、，所以根据可知，需用1号卡片2张，2号卡片3张，3号卡片7张，故答案为3，7拓展1：请仿图9，画图或拼图解释拓展2（2011，湖州）如图10所示，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形如果现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，那么应至少取丙类纸片张，才能用它们拼成一个新的正方形图10