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1、例谈函数奇偶性与单调性问题的解题策略陈小鹏在函数问题中，涉及奇偶性与单调性的问题比较多，本文列举几例，意在抛 砖引玉，供大家学习与提高。解题策略：运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段。奇函数在对称区间上的单调性相同，且f (x)f (x) 。偶函数在对称区间上的单调性相 反，且 f (x)f (x)f (|x |) 。55例 1求解方程(7x3)x8x30。5，f则(x)是奇函数而且单调递增。原方程等价于解 ：设函 数 f ( x) xxf (7x 3)f (x) ，于是有 f (7x3)f ( x ) ，即 7x 3x ，得 x3为所求方程的解。8例 2 若定义在（ 1
2、， 1）上的奇函数 f (x ) 是减函数，且有 f (1 a) f (1 a2 ) 0 ，求实数 a 的取值范围。解 ：11 a12， 得2， 解 得 0 a由11 a12 ， 再 由 f (1 a) f (1a ) 022f (1a)。 因f(x) 为奇 函数a) f(a1)f (1且 为减 函 数，所 以2222， 得f (1 a) a ) f(a 1) ， 可 得 1 a a1，解不等式aa 2 0f (12a1 。综上可得 0a 1 。例 3 f设(x) 是定义在1，1上的奇函数， 且对任意实数a、b 1，1 ，当 a b 0f (a)f (b)。时，都有0ab（ 1）若 ab ，试比较f (a) 与 f (b) 的大小。11（ 2）解不等式 fxf x0 。24f (a)f ( b)。因 f (x)解：（1）由 ab ，得 a b0 ，即 a( b)0 ，由题意可得0a( b)f (a)f (b)，可得 f (a)f (b) 0 ，即 f (a)f (b) 。是奇函数，所以ab0（ 2）由（ 1），显然f(x) 是定义在1， 1上的增函数，仿例2，易求出不等式的解为1x3 （同学们不妨自己动手试一试）。28第 1 页（共1页）-