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1、全国初中数学竞赛试卷一、选择题（本题共6 小题，每小题 7 分，满分 42 分。每小题均给出了代号为A， B， C， D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、a，b，c 为有理数，且等式 ab 2c3526 成立，则 2a 999b1001c 的值是（）B、C、D、不能A、200019992001确定2、若 ab 1 ，且有 5a 22011a90 及 9b 22001b50 ，则 a 的值是（）bA、9B、5C、 2001D、 200159593、已知在 ABC 中， ACB90 ， ABC15 ，BC1，则 AC的长为（）A 23B 23CD32、0
2、3、4、如图，在ABC 中， D 是边 AC上的一点，下面四种情况中，ABD ACB不一定成立的情况是（）A、 AD BCAB BDB、 AB2ADACC、 ABDACBD、 AB BCACBD5、在实数范围内， 一元二次方程 ax2bxc 0 的根为 xbb 24ac ；在2aABC 中，若 AC 2BC 2AB 2 ，则 ABC是锐角三角形； 在 ABC 和 A1B1C1 中，a，b，c 分别为 ABC 的三边，a1，b1， c1 分别为 A1 B1 C1 的三边，若 aa1，bb1， cc1 ，则 ABC的面积 S 大于 A1 B1 C1 的面积 S1 。以上三个命题中，假命题的个数是（
3、）A、B、1C、D、0236、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过200 元，则不予折扣；如一次购物超过200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠； 如一次购物超过 500 元的，其中 500 元按第条给予优惠， 超过 500 元的部分则给予八折优惠。 某人两次去购物， 分别付款 168 元和 423 元；如果他只去一次购物同样的商品， 则应付款是（）A、522. 8 元B、510. 4 元C、560. 4 元D、472. 8二、填空题（每小题 7 分，共 28 分）1、已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（ 0，1），O为坐标原点， QPO 15 ，且P 到 Q的距离为 2，
4、则 Q的坐标为。2、已知半径分别为1 和 2 的两个圆外切于点为。P，则点P 到两圆外公切线的距离3、已知x，y是正 整数，并且xyxy23，x2 yxy 2120，则x2y 2.4、一个正整数，若分别加上 100 和 168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 .三、解答题（共70 分）1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（ 1，3），C（2，6）；已知直线 yaxb 上横坐标为 0、1、2 的点分别为 D、E、F。试求 a，b 的值使得 AD 2BE 2CF 2 达到最大值。（20 分）2、（ 1）证明：若x 取任意整数时，二次函数yax 2bxc 总取整数值，那么2a，ab，c 都
5、是整数；（ 2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25 分）3、如图，D，E是 ABC 边 BC上的两点， F 是 BC延长线上的一点， DAE CAF . （1）判断 ABD 的外接圆与 AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若 ABD 的外接圆的半径的 2 倍， BC 6 ， AB 4 ，求 BE的长。FABDEC四、解答题：EG和 FH所夹的锐角、如图， EFGH是正方形 ABCD的内接四边形，两条对角线1为，且 BEG与 CFH都是锐角。已知 EGk ， FH，四边形 EFGH的面积为 S。（1）求证： sin2S ；kl（2）试用 k， ，S 来表示正方形的面积。AHDEOGBFC2、求所有的正整数 a，b，c，使得关于 x 的方程 x 23ax 2b 0 ，x 23bx 2c 0 ，x23cx 2a 0 的所有的根都是正整数。3、在锐角 ABC 中， AD BC，D 为垂足， DE AC ，E为垂足， DF AB ，F 为垂足。 O为 ABC 的外心。求证：（1）AEF ABC ；（2） AOEF4、如图，在四边形 ABCD中，AC与 BD交于点 O，直线 l 平行于 BD，且与 AB、DC、BC、AD及 AC的延长线分别相交于点 M、 N、 R、 S 和 P。求证： PMPNPR PSABODClMNPRS