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1、第七讲分式方程和无理方程的解法初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母 ”或 ”换元法 ”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方 ”或 ”换元法 ”求根，并会验根一、可化为一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程为一元二次方程【例 1】解方程14x2x 2x241x 2分析： 去分母，转化为整式方程解：原方程可化为：14x21x 2 ( x 2)( x 2)x2方程两边各项都乘以x24 ：( x
2、 2)4x2( x2)x24即 3x6x24，整理得： x23x 20解得： x1或 x2 检验：把 x1代入 x24 ，不等于0，所以 x1是原方程的解；把 x2 代入 x24 ，等于 0，所以 x2 是增根所以，原方程的解是x1说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：把各分式的分母因式分解；在方程两边同乘以各分式的最简公分母；去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；解一元二次方程；验根(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0 的根因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0若为 0
3、，即为增根；若不为 0，即为原方程的解2用换元法化分式方程为一元二次方程【例 2】解方程 ( x2)23x24 0x1x 11分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难 但注意到方程的结构特点，设 x2y，即得到一个关于y 的一元二次方程 最后在已知 y 的值的情况下， 用去分母的方法x1解方程x2y x1解：设 x2y ，则原方程可化为：y23 y40解得 y4或 y1 x 1(1)当 y4 时，x24 ，去分母，得 x24(x1)x24x40x 2 ；x1(2)当 y1时，x21x2x 1x2x10x15 x12检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0所以， x2 ，
4、 x15都是原方程的解2说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y 的值，而没有求到原方程的解，即 x 的值【例 3】解方程8( x22x)3( x21)11x21x22x分析： 注意观察方程特点，可以看到分式x22x与x21互为倒数因此，可以设x21x22xx22xy ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程x21解：设x22xy ，则x211x21x22xy原方程可化为： 8 y3118 y211y30y1或 y3y8(1) 当 y1时， x22x1x22xx21x1 ；x212(2) 当 y3时， x22 x38 x23x25x21 16x316x 30x3或 x8x2185检验：把把
5、各根分别代入原方程的分母，各分母都不为021， x3 ， x1所以，原方程的解是 x25说明： 解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程1平方法解无理方程【例 4】解方程x7x1分析： 移项、平方，转化为有理方程求解解：移项得：x7x1两边平方得：x7x22x1移项，合并同类项得：x2x60解得： x3 或 x2检验：把 x3 代入原方程，左边右边，所以把 x2 代入原方程，左边= 右边，所以x 3 是增根x 2 是原方程的根所以，原方程的解是x2说明： 含未知数的二次根式恰有一个的
6、无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根【例 5】解方程3x2x33分析： 直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例 4 的方法解方程解：原方程可化为：3x23x3两边平方得：3x296x3x3整理得： 6 x3142x3 x37x两边平方得：9(x3)4914xx2整理得： x223 x220 ，解得： x1或 x22 检验：把 x1代入原方程，左边=右边，所以x1是原方程的根把 x22 代入原方程，左边右边，所以x22 是增根所以，原方程的解是x1说明：
7、含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：3移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例4 的说明2换元法解无理方程【例 6】解方程 3x215x2x25x 12分析： 本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x215x3 3( x25x1) 因此，可以设x25x1y ，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理解：设x25x1y ，则 x25x1 y23x215x3( y21)原方程可化为： 3(y21)2 y2 ，即 3y22 y50 ，
8、解得： y1或 y53(1)当 y1时，x25x 11x25x0x1或x0 ；(2)当 y5时，因为x25x1 y0 ，所以方程无解3检验：把 x1, x0分别代入原方程，都适合所以，原方程的解是x1, x0说明： 解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想4练习A组1解下列方程：(1)2x 1x5(2)xx 7(x 1)( x2)( x2)( x3)2x211x21x212 x35(3)211(4)1521y24y2x242x2用换元法解方程：x244x23解下列方程：(1)x2x(2)x 5x7(3)x3 2x4解下列方程：(1)3x1x41(2)2
9、x4x515用换元法解下列方程：(1)x12x0(2)x23xx23x6B组1解下列方程：(1)2x 541(2)x41x6x23x 2 x24 x 2x2x 2 x 1 x24(3)1x11(4)x12x4xx 7 (2 x 1)(x 7) 2x23x 1x 1 x 1 x2012用换元法解下列方程：(1)x25x24(x1) 140(2)2( x21)6( x1)7x1x( x5)x1x21(3)x42x21x212x2x3若 x1是方程x14 的解，试求 a 的值xaxa4解下列方程：(1)x32x24x1(2)3x6x2a x22x 3x a a2x2x a5解下列方程：5(1)x2x213(2)x 1065x10(3)2x24x3x22x 6 15第七讲分式方程和无理方程的解法答案A 组1 (1)x1 ,(2) x1, x21,(3) y0, y1,(4) x3, x52 x23 (1)x1,(2) x536,(3) x24 (1) x5 (2)x20 5 (1)x9,(2) x1, x4B 组1 (1)x113,(2) x3,(3) x5, x11,(4) x32 (1)x1, x2, x3, x4,(2) x1317,(3) x12, x42324 (1)x0, x2, x23 2 ,(2) x1 a225 (1)x2,(2) x26,(3)x3, x16