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1、分式运算常见错误示例一、概念记不准例 1 下列哪些是分式 ? 哪些是整式 ? x 2 1 13 3a4错解： ，是分式 ,是整式 . 在代数式 x 21 中, 因为在分母中含有字母,所以是分式 ; 在代数式 13 中,因为它是二项式 ,a属于整式；3是分式.4错解分析： 分式的定义就是形如 A , 其中 A 和 B 都为整式 ,分母 BB中要含有字母， x 21 中的分母 是常数 ,而不是字母 ; 13 中a的1是分式,加3 后,仍然属于分式 ; 把分式和分数混淆了 .a正解： , 是整式 ,是分式 .二、直接将分式约分例 2 x 为何值时 , 分式 x2 3x 9有意义 ?错解 :x3x31
2、x29x 3x3x 3. 要使分式有意义 , 必须满足 x+30,即 x-3.错解分析 : 错误的原因是将 x-3 约去 , 相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式 , 无意中扩大了字母的取值范围 , 当 x=3 时, 分式无意义的条件漏掉了 .正解 : 要使分式有意义 , 必须满足 x2 -9 0, 解得 x 3. 当 x3 时,分式 x23 有意义.x9三、误以为分子为零时, 分式的值就为零例 3当 x 为何值时 , 分式 x22x4的值为零 ?错解 :由题意 , 得| x| - 2=0, 解得 x=2.当 x=2 时,分式x 2 的值为零 .2x4错解分析 :分式值为零的条件是分子为
3、零而分母不为零. 本题当x=-2 时, 分母 2x+4=2(-2)+4=0, 分式无意义 , 应舍去 .正解 : 由题意 , 得 | x| - 2=0, 解得 x=2. 当 x=2 时, 分母 2x+40; 当 x=-2 时, 分母 2x+4=2(-2)+4=0, 分式无意义 . 当 x=2 时, 分式x 2 的值为零 .2x4四、分式通分与解方程去分母混淆例 4化简 x2- x-2.x2错解 : 原式 =x2 - x ( x-2)- 2( x-2) =x2 - x2 +2x-2x +4=4.错解分析 :上述错误在于进行了去分母的运算, 当成了解方程 ,而本题是分式的加减运算 , 必须保持分式
4、的值不变 .正解 :x2- x-2=x2-( x+2)=x2- x2x2 = x2(x24) =x 2x2x2x2x 24 .x 2五、颠倒运算顺序例 5计算 ab 1 .b错解 :ab 1 = a 1=a.b错解分析 :乘法和除法是同级运算 , 应按从左到右的顺序进行.错解颠倒了运算顺序 , 造成运算错误 .正解 : ab 1 = a 1 = a .bbbb2六、化简不彻底例 6计算21.x24 2x4错解: 原式=21=4x 2x 2 x 2 2 x 22 x 2 x 2 2 x 2 x 2=4x2=x2.2 x2x22 x 2x 2错解分析 :上面计算的结果 , 分子、分母还有公因式 (
5、 x-2) 可约分 ,应继续化简 .正解:原式=21=4x 2x 2 x 22 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2=4 x 2=x 2=1.2 x 2 x 22 x 2 x 22 x 2七、忽视“分母等于零无意义”致错1. 错在只考虑了其中的一个分母例 7 x 为何值时 ,分式1有意义 ?11x1错解：当 x+ 1 0, 得 x - 1.所以当 x - 1时, 原分式有意义 .错解分析：上述解法中只考虑了分式1中的分母 ,没有注意整个分1 .x1式的大分母 1x 1正解：由 x+ 1 0,得 x - 1.1由1x1 0,得 x 0 ，因此， 当 x 0 且 x - 1时,原分式有意
6、义 .2. 错在没有把方程的两个解带到分母中去检验例8 先化简,再求值 :x 2xx21,其中 x 满足 x2- 3x + 2=x1x22x10.错解： x2xx2x 21= x( x1)(x1)( x1)= x .x 12x 1x 1( x 1)2x 2- 3 x+ 2= 0, ( x- 2) (x- 1) = 0.x= 1 或 x= 2 ， 原式=1或 2.错解分析： 只要把本题中的 x=1代入到 (x - 1)2 中可知, 分母等于 0,所以原式无意义 . 故原式只能等于 2.正解：x 2xx 21x(x1) (x1)(x 1)x ，22x 1(x 1)2x 1 xx 1由 x2-3 x
7、+2=0，解得 x1 =2, x2=1，当 x=2 时， x+10，x2-2 x+10，当 x=1 时， x2-2 x+1=0，故 x 只能取 2，则原式 =x=2.3. 错在没有考虑除式也不能为零例 9先化简1x,再选择一个恰当的 x 值代入并求值 .11x2x1错解：11x=x 1 1 ( x 1)( x 1)= x+ 1.x 1x2x1x1 x- 1 0, x 2 - 1 0, x 1.当取 x= 0时代入 x+1, 原式 = 1.错解分析： 本题若取 x= 0,则除式 x 颠倒到分母上时 ,分式就变得无意义了 ,显然是不正确的 ,所以 x- 1, 0, 1.其他值代入均可求.正解： 1
8、1x2x=x (x1)(x 1)x1,x11x 1x x-1 0,x2-10,x为除数不为0，即 x0,x 2 1x 1 且 x0,当取 x=2 时,原式 =x+1=2+1=3.4. 错在“且”与“或”的混用例 10 x 为何值时 , 分式1有意义 ?( x 2)( x 3)错解：要使分式有意义 ,x 必须满足分母不等于零 ,即( x- 2) ( x -3) 0, 所以 x 2 或 x 3.错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词, 两件事情至少一件发生用“或”，两件事情同时发生用“且”.正解：要使分式有意义 , x 必须满足 ( x - 2) ( x- 3) 0, 所以 x 2 且 x 3.八、忽视分数线具有双重作用例 11 化简：x 21xx1错解： 原式 =x 2x1 x 2(x 1)(x 1)2 x 1 .x11x 1x 1错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用,在添分数线时 ,如果分数线前面是负号 ,那么所添各项都要变号 .正解：原式 =x2x 1x2( x1)( x 1)1 .x 11x1x 1