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1、初中数学竞赛专项训练（6）（函数）一、选择题：1、如果一条直线L 经过不同的三点A（ a， b），B（b，a），C（a-b，b-a），那么直线 L 经过（）A. 二、四象限B. 一、二、三象限C. 二、三、四象限C. 一、三、四象限2、当 | x |4 时，函数 y| x1 | | x2 | | x 3 |的最大值与最小值之差是（）A. 4B. 6C. 16D. 203、对 ab0， a2b2 ，二次函数 y(x a)( xb) 的最小值为（ ）A. ( a b ) 2B.( a b) 2C. ( a b )2D.( a b ) 222224、若直线 yaxb(ab0)不经过第三象限，那么抛物
2、线y ax 2bx 的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限、二次函数yax2bxc的图象一部分如图6-1，则 a 的取值范围是 （）5A. 1 a 0B. a-1C. -1 a 01 ( x2D. a-16、若函数 y100x 196 | x 2100x 196 |) ，2y110图 6-1x则当自变量 x 取 1， 2，3， ， 100 这 100 个自然数时，函数值的和是（）A. 540B. 390C. 194D. 1977、已知函数 f(x)| 82xx2 | 和 ykxk （k 为常数），则不论 k 为何常数，这两个函数图象只有（）个交点A. 1B. 2C
3、. 3D. 4、二次函数yx26x7 ，当 x取值为 tx t2时， y最大值(t3)22，则 t 的取值8范围是（）A. t=0B. 0t3C. t3D. 以上都不对9、两抛物线 yx 22axb2 和 yx22cxb2 与 x 轴交于同一点（非原点），且 a、b、c 为正数， ac，则以 a、b、c 为边的三角形一定是（）A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形10、当 n=1，2，3， ， 2003，2004 时，二次函数 y(n 2n) x 2( 2n1)x 1 的图象与 x轴所截得的线段长度之和为（）A.2002B.2003C.2004D.2005
4、2003200420052006二、填空1、已知二次函数 yax2bx c 图象如图 6-2 所示，则下列式子：yab， ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b 中，其值为正的式子共有个。x012、已知函数 y1 x 213在0axb 时，有 2a y2b ，则（ a，b） 图 6-2223、若第一象限内的整点（ a， b）位于抛物线 y 19 x298 x 上，则 m+n 的最小值为4、如果当 m 取不等于0 和 1 的任意实数时，抛物线 ym 1 x22 xm 3在平面直角坐mmm标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为5、已知抛物线 yx 2(k1) x1与 x 轴两个交点
5、 A 、B 不全在原点的左侧， 抛物线顶点为 C，要使 ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为6、已知 f ( x) x 2(m1)x(2m1)( m1) 在 x 轴上的两截距都大于 2，则函数值 f (m1)24m2的符号为7、设 x 为实数，则函数 y3x 26 x5 的最小值是1 x 2x128、已知函数 f ( x )1，则3 x22 x 12123x3 x2 x 1f (1)f (3). f (2k1) .f (999) 的值为9、函数 y(cos) x24(sin) x6 对任意实数 x 都有 y0 ，且 是三角形的内角， 则 的取值范围是三、解答题1、已知 x， y，z 为三个非
6、负有理数，且满足求 s 的最大值与最小值的和。3x2 yz5， xyz2 ，若s2 xyz ，2、设 a、b、c 是三角形的三边长，二次函数 y(a b) x 22cx (a b) 在 x1 时，取得最a ，求这个三角形三个内角的度数。2小值23、二次函数 y ax 2bxc(a0) 的图象如图 6-3 所示： y判断 a、 b、 c 及 b24ac 的符号A若 | OA | | OB |，求证 acb1 0OC xB图 6-34、设二次函数 yx 2pxq的图象经过点（ 2，-1）， 且与 x 轴交于不同的两点A（ x1，0） B（x2，0），M 为二次函数图象的顶点，求使 AMB 面积最小
7、时的二次函数的解析式。5、已知二次函数 y4x 2(3k8) x6(k1)2 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点（ A 在 B 左边），且点 A、B 到原点距离之比为32。求 k 值。若点 P 在 y 轴上， PAB， PBA 。求证： 参考答案一、选择题1、 A 。设 L 的方程为 ykxt ，则有：bkatakbt得 (ba)k (ab)bak (ab)tabk，代入得t 01L方程为 yx，经过二、四象限63x(4x1)2、 C。因为4x4x(1x2)4 ，所以 y(2x3)x3x 6 (3 x 4)所以当 x4 时， y 取最大值 18，当 x2 时， y 取最小值 2。3、D。y
8、x 2(a b) x ab ( xa b ) 2ab ( a b ) 222( xa b ) 2( a b ) 222当 xab 时， ymin( ab ) 2224、 A 。直线 yaxb( ab0) 不经过第三象限， a0， b0。抛物线yax2bx 的顶点 (b4 acb 2，) 在第一象限。2 a4 a5、 C。显然 a0，因为二次函数图象过点（1，0）和（ 0， 1），且当 x1时， y0 ，所以可设 ya( x1)( xk)(k0)，将（ 0，1）坐标代入，得 ak1，所以 yax2(a1) x 1 ，将 x1代入，可知 a(1 a)1 0，解得 a1，故 -1 a 0。6、 B。
9、 x 2100x 196( x2)( x98)当2x98时，| x 2100x196 |( x2100x196) ，当自变量 x 取 2， 2， ， 98 时函数值为 0，而当 x 取 1，99，100 时，| x2100x196 | x2100x196 ，所以，所求和为（ 1-2）（1-98） +（ 99-2）（99-98） +（ 100-2）（ 100-98） 97+97+196390。7、 B。由于 yk( x1) 图点恒过点（ -1，0），所以不论 k 为何常数，这两个函数图象有两个交点。8、 C。 yx 26x7(x3) 22 ，当 t3 t2 时，即 1 t3 时， y最大值f (
10、3) 2 ，与 y最大值(t3) 22 矛盾。当 3 t2 时，即 t1 时，y最大值f (t2)(t1)2，与y最大值(t3)22矛盾。当3 t，即 t 3时，2y最大值f (t )(t3)22与题设相等，故 t 的取值范围 t 3。9、 B。设两抛物线交于 x 轴（ x0 ，0）（ x0 0），则有：x022ax0b20，得 2x022(ac) x00 ， x00 ， x0(a c) 。2x02cx0b 20得2(a)2b20，c x0 x0b 2 b 2(ac)， b2a2c2 ，即 a 2b 2c 2 ，所以为直角三角形。caca10、C。解方程 (n2n) x2(2n1) x10 ，
11、得 x11，x21 ，11n1n dn| x1x2 |nn1 d1d2.d2004(11)(11) .( 11) 1120042232004200520052005二、填空题1、 2 个。显然 a0，c 0， b 0， abc0， b1 ，2a所以 ab0，ac0， a b c0，2a b0，2a b 0、（ ， ）。若2a1 b2131，若 b0 与题设矛盾。b0，则有22 ，解得 a2 1 31213b32ba223、 102。由 m(19n98)n 知，存在整数 k，使 k19n98 ，取 n6，7， 可知当 n 取最小值6 时， k 取最小正整数16，故 mnnkn617102 。4、
12、 4 5 。取 m1 ，得抛物线 yx24x5 ；2取 m1 ，得抛物线 y3x 28x11 ，4联立，得 x 22x3 0 ，求出 x11， x23 ，相应地，得 y10， y2 8 ，即两个定点的坐标分别为 M ( 1，0） N （3，8），从而两定点 M 1 N 之间的距离为MN(31) 2(80) 245 。5、 5。由题意 A 、B在原点的右侧，且 | x1x2 | (x1 x2 )24x1x2(k1) 24 3(k1) 24| 1( k21) 2|，解得 k5 。26、 f ( m1 )0 。设 x 2(m1)x(2m1)0 ，两根为 x1， x2 ，则 x1 2， x22，4m2
13、 x1x2m 1， x1 x22m 1， m 1x1x21 ( 11 )124m 2 2x1 x22 x1x22 f ( m 1 ) 0 4m 27、4。设 y3x26 x5 ，去分母，整理得 ( y6) x2(2y 12) x2 y100 ，当 y 60 时，1x 2x12由 x 为实数，得(2 y 12)24( y6)(2 y10)0，即 y 210 y240 ，解得4y6( y6) ，而 x1 时， y4 ，故分式的最小值为 4。8、 5。 f ( x)3 x 1 3 x 11 ( 3 x 1 3 x 1)( x1)(x1)2f (1)f (3) .f (999)1(3 20) (343
14、 2) .(3 10003998)2110529、 060 。由题意得cos016sin 224cos0cos0解得 cos1 ，又因为 0180即cos2)3cos2(102所以 0603x2 yz5三、 1、xyz22xyzs又 x 、 y 、z 是非负数，x s2154 sy33sz3s20154 s解得 2s 3，故 s 的最大值为 3，最小值为 2，最303s03大值与最小值和为 5。c1、由题意得a b22c ，代入得 a 2b c0 ，所以由得 a b2(ab)( ab) c2aab2a b c ，故三个内角度数均为 60。3、 a0， b0， c0， b24ac0因为 |OA
15、| OB |，且 | OB | | c |c ，所以 ax2bxc0 有一根 xc ，从而 ac 2bc c0 ，又因为 c0 ，所以 acb10 。4、 1 222 p q 2 p q5 x1， x2 为 x2pxq0 两根， x1x2px1 x2q ， | AB | | x1x2 |( x1x2 )24x1 x2p24q ，又 M (p4qp 22，)41 | AB | | 4qp21 | x1x2 | | 4qp21 ( p 23SAMB|4q) 2 ，要使 S AMB 为最小，只需24248使 p 24q 最小。p 24qp 28 p 20 ( p4) 24当 p4 时， p 24q 取最小值 4，此时 q3 ，故所求的二次函数为 y x24x3。3t2t2k8、设4解得 k2 或 k8 ，经检验 k25A（ 3t，0），B（ 2t，0），则有6(k1) 23t2t(t0)4符合题意。6、 tanPABPO ，tanPBAPO ，AOBOAOBO tan PAB tan PBA PABPBA，即 。