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1、全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分 .以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的 . 请将正确结论的代号填入题后的括号里 . 不填、多填或错填，得零分）若5x22 y2z2的值等于 ( ).14x3y6z=0，x+2y 7z=0(xyz 0)，则2x23 y210z2119(C) 15(D)13(A)(B)222在本埠投寄平信， 每封信质量不超过20g 时付邮费 0. 80 元，超过 20g 而不超过 40g 时付邮费 1. 60 元，依次类推， 每增加 20g 需增加邮费 0. 80 元（信的质量在 100g 以内）。如果所寄
2、一封信的质量为 72. 5g，那么应付邮费 ().(A)2. 4 元(B)2. 8 元(C)3 元(D)3. 2 元3如下图所示， A+B+C+D+E+F+G=（） .(A)360(B)450 (C)540(D) 720AGABFDCCODEB（第 4 题图）（第 3 题图）4四条线段的长分别为9， 5， x，1（其中 x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且 AB 与 CD 是其中的两条线段（如上图），则 x 可取值的个数为（）.(A)2 个(B)3 个(C)4 个(D)6个5某校初三两个毕业班的学生和教师共100 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数
3、3），且要求各行的人数必须是连续的自然数， 这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有 ().(A)1 种(B)2 种(C)4 种(D)0 种二、填空题（共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）6已知 x 11113 ，那么x24.x 2x 27若实数 x，y，z 满足 x14 ，y11，z17 ，则 xyz 的值为.yzx38观察下列图形：根据图、的规律，图中三角形的个数为.A9如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面 BC上，如果 CD 与地面成 45o，A=60o CD=4m，BC= 462 2m ， 则电线
4、杆AB的 长为DBC_m.（第 9 题图）已知二次函数y ax2bx c（其中 a 是正整数）的图象经 过点 A（ 1，4）10与点 B（2，1），并且与 x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为.三、解答题（共4 题，每小题 15 分，满分 60 分）11如图所示，已知 AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线， OC 平行于弦 AD，过点 D 作 DEAB 于点 E，连结 AC，与 DE 交于点 P. 问 EP 与 PD 是否相等？证明你的结论 .解：ADEPOCB(第 11题图)12某人租用一辆汽车由A 城前往 B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间 （单位：小时）
5、如图所示 . 若汽车行驶的平均速度为 80 千米 / 小时，而汽车每行驶 1 千米需要的平均费用为 1.2 元. 试指出此人从 A城出发到 B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：6DC1714E1310A1211O15F5B718G9H(第 12 题图)13B如图所示，在 ABC 中， ACB=90.（1）当点 D 在斜边 AB 内部时，求证： CD 2BD 2AD BD.BC2AB（2）当点 D 与点 A 重合时，第（ 1）小题中的等式是否存在？请说明理由 . （3）当点 D 在 BA 的延长线上时，第（ 1）小题中的等式是否存在？请说明理由 .CBDA(第 13
6、B 题图)14B已知实数 a，b，c 满足： a+b+c=2， abc=4.（1）求 a，b，c 中的最大者的最小值；（2）求 abc 的最小值 .注：13B 和 14B 相对于下面的 13A 和 14A 是较容易的题 . 13B 和 14B 与前面的 12 个题组成考试卷 . 后面两页 13A 和 14A 两题可留作考试后的研究题。13A如图所示， O 的直径的长是关于x 的二次方程 x22(k2) xk0 （k是整数）的最大整数根 . P 是 O 外一点，过点 P 作 O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B，C 是直线 PBC 与 O 的交点 . 若 PA，PB，PC
7、的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求PA2PB 2PC 2 的值 .解：AOPBC(第 13A 题图 )14A沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a，b，c，d 满足不等式 ( a d )(b c) 0，那么就可以交换 b， c 的位置，这称为一次操作 .（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个数 a，b，c，d，都有 (ad )(bc)0？请说明理由 .（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003 个正整数 1，2， ，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，
8、 d，都有( ad )(bc) 0？请说明理由.解：（1）162534（ 2）全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6 分，满分 30 分）1 D4x3y6z0,x3z,由2y7z0,解得代入即得 .xy2z.2 D因为 20372. 5204，所以根据题意，可知需付邮费0. 84=3. 2（元） .3 C如图所示， B+BMN+E+G=360， FNM + F+A+C=360，而 BMN +FNM =D180，所以A+B+C+D+E+F+G=540.AGABDFCOCMNBED(第 4 题图)(第 3题图)4 D显然 AB 是四条线段中最长的，故AB=9 或 AB=x。（
9、1）若 AB=9，当 CD=x 时，92x2(15) 2 ， x35 ；当 CD=5 时，9252( x1) 2 ， x2141 ；当 CD=1 时，9212( x5) 2 ， x455.（ 2）若 AB=x，当 CD=9 时，x292(15) 2 ， x313 ；当 CD=5 时，x252(19) 2 ， x55 ；当 CD=1 时，x212(59) 2 ， x197 .故 x 可取值的个数为 6 个 .5B设最后一排有 k 个人，共有 n 排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，n(n1)200 .k+2， ， k+（n1），由题意可知 kn100 ， 即 n 2k n 12因为 k，
10、 n 都是正整数，且 n3，所以 n0，且 b+c=2- a， bc4 .a于是 b，c 是一元二次方程 x 2(2a)x40 的两实根，a( 2a) 244 0，aa 34a24a 16 0，( a24)(a4) 0. 所以 a4. （ 8 分）又当 a=4，b=c=-1 时，满足题意 .故 a，b，c 中最大者的最小值为4. （ 10分）（2）因为 abc0，所以 a， b，c 为全大于 0 或一正二负 .1）若 a， b， c 均大于 0，则由（ 1）知， a，b，c 中的最大者不小于4，这与 a+b+c=2 矛盾 .2）若 a，b，c 为或一正二负，设a0，b0， c0，那么就可以交换
11、b， c 的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个数 a，b，c，d，都有 (ad )(bc) 0？请说明理由 .（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数 1，2， ，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个数 a，b，c，d，都有 ( ad )(bc) 0？请说明理由 .解：（ 1）答案是肯定的 . 具体操作如下：111623636(1 4)(2 3)0(3 5)(2 4)0交换 2，4交换 2，3535254442116464(1 2)(3 4)0(36)(
12、2 5)0交换 3，4交换 2，5532325 （ 5 分）（ 2）答案是肯定的 . 考虑这 2003 个数的相邻两数乘积之和为P. （ 7 分）开始时， P0 =12+2 3+34+ +20022003+2003 1，经过 k（ k0）次操作后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为Pk ，此时若圆周上依次相连的 4 个数 a，b，c，d 满足不等式 (ad )(b c) 0，即 ab+cdac+bd，交换 b， c 的位置后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为Pk1 ，有Pk1 Pk (ac cbbd ) (abbccd ) ac bd abcd 0 .所以Pk 1Pk1 ，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4 个数a，b，c，d，一定有( ad )(bc) 0. （ 15 分）