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1、全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6 小题，每小题 5 分，满分 30 分每小题均给出了代号为A， B， C， D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设 a，b，c 的平均数为 M，a，b 的平均数为 N，N，c 的平均数为 P，若 ab c ，则 M与 P 的大小关系是（）A、M PB 、 MPC、 MPD、不确定答案： B解析： Mabc ， Na b ， PNca b 2c ， MPa b 2c322212 a b cab2cc c2c0，即MP 0，即M P M P1212a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千、某人骑车沿直线旅行，
2、先前进了2米（ b a ），再前进 c 千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（）SSSSOtOtOtOtABCD答案： C解析：因为图（ A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后 S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时， 乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时， 甲 25 岁，那么（）A、甲比乙大5 岁B、甲比乙大 10 岁C、乙比甲大10 岁D、乙比甲大 5 岁答案： A解析：由题意知 3（甲乙）251015甲乙 5。4、一个一次函数图象与直线y5x95 平行，与 x 轴、 y 轴
3、的交点分别为 A、B，44并且过点（ 1， 25），则在线段 AB 上（包括端点 A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）B、 个C、 个D、A、 个4567 个答案： B解析：在直线 AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x14N ，y255N，（N 是整数）在线段 AB上这样的点应满足14N0 ，且255N0， 1N5 ，4即 N 1，2，3，4，5、设 a，b，c 分别是ABC的三边的长，且 aab，则它的内角A、 B的5babc关系是（）A、 B2AB、 B2AC、 B2AD、不确定答案： B解析：由 aab得 ab，延长 CB至 D，使 BDAB ，于是 CDacbab cbacC在
4、ABC与DAC 中， CC，且 BCACbaACDCAB ABCDAC ， BACDcBADDABCDBAD2 D 2BACD、已知ABC的三边长分别为 a， b， c，面积为S， A1B1C1a1的三边长分别为，61 ，c1 ，面积为1 ，且1 ，1 ，1 ，则S与1 的大小关系一定是（）bSa ab bc cSA、S S1B、S S1C、S S1D、不确定答案： D，显然 Sa2解析：分别构造ABC 与 A1 B1C1 如下：作 ABC A1 B1 C11，S1a1即 S；设ab101，c 20 ，则，S10，则 S13，S1hc1a1b1c110410010即 SS；设a b101， c
5、20 ，则h1 ， S10 ，a1b129，c10，则h2，1c1cS1 10，即 SS1 ；因此， S与S1 的大小关系不确定。二、填空题7、已知： a343231 ，那么331a23 _ .aa答案： 1解析： 3 21 a211，即 13 21a2323 331 3a3a 1 a3a3a 11a 113 231211aa 2a3a 3a3a、如图，在梯形 ABCD中，AB / DC，AB 8，BC6 2 ，BCD45，BAD120，8则梯形 ABCD的面积等于 _.答案： 666 3 （平方单位）AB解析：作 AE、 BF垂直于 DC，垂足分别为 E、F由 BC6 2， BCD45，得A
6、E BF FC 6DEFC由 BAD 120 ，得 DAE 30因为 AE 6得DE 23， ABEF8，DC238614 23 S181423 6666329、已知关于 x 的方程 a 1 x 22 xa 1 0 的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。答案： 5解析：当 q1 时， x1 ；当 a1时，易知 x 1 是方程的一个整数根，再由1 x2且 x 是整数，知 1a1，2 ， a1，0，2，3；由、得符合条件1a的整数 a 有 5 个。10、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4 米、 6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、 D；B
7、、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与 BC的交点 P 离地面的高度为米。_答案： 2.4 米C解析：作 PQBD 于 Q，设 BQx 米， QDy 米， PQh 米AP由 AB / PQ / CD ，得 hy及 hxEBQDFx y46x y第10题图两式相加得 5h1，由此得 h2.4 米12即点 P 离地面的高度为2.4 米。注：由上述解法知， AB、 CD之间相距多远，与题目结论无关。11、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 B 的坐标为（15，6），直线 y1 xb3恰好将矩形 OABC分成面积相等的两部分，那么b _y.DC答案： 1D2OAx第 11题图
8、解析：直线 y1 x（15， 5），故 BD1通过点3D当 b1 时，直线 y1x1， 15，51两点1通过 0，22322则它恰好将矩形 OABC分成面积相等的两部分。12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4% ，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是 _.注： 利润率销售价- 进价100%进价答案： 17%解析：设原进价为 x 元，销售价为 y 元，那么按原进价销售的利润率为yx100%，x原进价降低 6.4% 后，在销售时的利润率为y 93.6% x100%，依题意得：93.6% xyxy93.6% x，解得 y1.17xx100%8%93.6
9、% x100%故这种商品原来的利润率为1.17xx100%17%x三、解答题13、设 m是不小于1的实数，使得关于x 的方程 x22 m2 xm23m30 有两个不相等的实数根x1 ， x2 .（1）若 x12x226 ，求 m的值；（2）求 mx12mx22的最大值。1x11 x2解：因为方程有两个不相等的实数根，则4 m2 24 m23m34m40 m 1根据题设，有1m1（1）因为 x12x22x1 x222x1 x2 4 m2 22m23m 32m210m 10 2m210m10 6 ，即 m25m 2 0517 m2由于 1m1 ，故517m2（2） mx12mx22m x12 1
10、x2x22 1 x1m x12x22x1 x2 x1x21x11x21x1 1x2x1 x2x1x21m 2m210m 10m23m3 2m4m23m32m41m 2m38m28m2m2m2m m1 m23m1m m123m12 m2设 y 2 m23m 1 2 m351 m 12 2 y 在 1 m 1 上是递减的当 m1时， y 取最大值 1022故 mx1mx2 的最大值为 101 x11x2、如图：已知四边形 ABCD外接圆 O的半径为，对角线 AC与 BD的交点为 E，142AE EC， AB2AE ，且 BD2 3，求四边形 ABCD的面积。解：由题设得 AB 22AE 2AEAC
11、A ABAEDACABHE又 EABBACBC ABE ACBO ABEACB ，从而 AB AD连结 AD，交 BD于 H，则BHHD3 OHOB 2BH 2431， AHOAOH211SABD1AH12313BD22 E 是 AC的中点SABESBCE，SADES CDESABDS BCD223 S四边形 ABCDS ABD15、一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层， 它一次最多能容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第
12、 33 层的每一层， 问：电梯停在哪一层， 可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人。对于每个乘电梯上、 下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第 s 层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼， s t .交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第 x 层。当 xst 时，若住第 s层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t 3s3x 3 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也
13、为3t 3s 3x3 .当 xst 时，若住第 s层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t 3 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3t 3 .当 sxt 时，若住第 s层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3txs3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3t 3x 3s3 ，前者比后者多4 xs 0 .当 sxt 时，若住第层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为 4ts 3 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3s 3，前者比后者多 4 ts0 .当 stx 时，若住第 s层的人乘电梯，而住第t
14、层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3txs3 ；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3s x t 3 ，前者比后者多4 ts0 .今设电梯停在第x 层，在第一层有y 人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：S31233 x3 1 2y 1 2x y 1 13 33 x 34 x3y y 1x y 2 x y 12222 x 2xy102x2 y23 y16842 x 2y102 x2 y 23 y1684y212x1022180 y3068415 y82xy21 y631632610224 8当 x 27， y 6 时， s 316所以，当电梯停在第27 层时，这 32 个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。