1、 目目 录录第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示第五章第五章 留数及其应用留数及其应用第六章第六章 傅立叶变换傅立叶变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数2025/7/101第七章 拉普拉斯变换变换 上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质上即
2、是傅氏分析（谱分析）但是任何东分析本质上即是傅氏分析（谱分析）但是任何东西都有它的局限性，傅氏变换也是如此因而人们西都有它的局限性，傅氏变换也是如此因而人们针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进这针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进这些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围本章介刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围本章介绍的是后面这种情况绍的是后面这种情况 2025/7/102 第七章 拉普拉斯变换变换 7.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念 7.2 拉氏变换的性质7.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变
3、换7.4 拉氏变换的应用及综合举例本章小结v 思考题2025/7/103第一节 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念 1拉普拉斯变换的定义 2025/7/104例1解：1/s的拉氏逆变换为哪个？2025/7/105例2解：由上式可得：2025/7/106第二节 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 1线性性质 一、线性与相似性质一、线性与相似性质 2025/7/107例1解：w偶函数 w奇函数2025/7/108例2解：2相似性质 2025/7/109二、微分性质二、微分性质 1导数的象函数 推广：此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它对分析线性系统有重要的作用 2025/7/10
4、10例3解：利用线性性质及微分性质，有:代入初值:有前面结果，可以得到：对方程两边取拉氏变换，有:利用线性性质，有:解得:2025/7/10112象函数的导数 一般地有例4解：同理 例52025/7/1012三、积分性质三、积分性质 1积分的象函数 推广：象函数的积分 推广：2025/7/1013例5解：2025/7/1014四、延迟与位移性质四、延迟与位移性质 1位移性质 若 则有证明：这个性质表明：象原函数乘以指数函数 其象函数做位移 的拉氏变换等于2025/7/1015例6设 求 解：令 则据积分性质得：所以 2025/7/10162延迟性质 若 或 证明：由定义 2025/7/1017
5、例7求函数 的拉氏变换 解：已知 由延迟性知例8求函数 的拉氏变换 解：因为 所以 2025/7/1018五、周期函数的拉氏变换五、周期函数的拉氏变换 设 逐段光滑，则 证明：由定义有 2025/7/1019几个常用函数的拉氏变换 2025/7/1020六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理 1卷积的概念 前面讨论两函数傅氏卷积为 则 记作：2025/7/1021例1解：2卷积的性质 2025/7/10223卷积定理 或 证明：2025/7/1023推论：则 这性质说明：函数卷积的拉氏变换等于其象函数的乘积 例2求下列卷积的拉氏变换 解：2025/7/1024第三节 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换
6、 一、反演积分公式一、反演积分公式 构成一对互逆的积分变换公式，拉氏变换对 2025/7/1025二、利用留数计算反演积分二、利用留数计算反演积分 定理2：即：计算复变函数积分通常比较困难，可以利用留数方法拉计算这个反演积分 2025/7/1026例1解：法一利用部分分式求解解：法二利用卷积求解2025/7/1027根据卷积定理有：解：法二利用留数求解及留数计算法则有：2025/7/1028第四节 拉普拉斯变换的应用及综合题拉普拉斯变换的应用及综合题 对于一个系统，无论是机械的，电的，要想真正了解、分析与研究，就应该对该系统建立描述系统数量特性的数学模型或把面放窄一点来考虑就要建立该系统的微分方程，尤其在一些线性电路上，因为这一类线性电路是满足叠加定原理的系统，它们在自动控制中占有很重要的地位，本节着重是对建立的微分方程，通过用拉氏变换的一套方法来解微分方程 2025/7/1029例1解：方程两边取拉氏变换，得：由拉氏变换的性质及初始条件得：取逆变换，得：2025/7/1030 用拉氏变换解微分方程方法用拉氏变换解微分方程方法（1）方程两边同时取拉氏变换，（2）根据这个代数方程，（3）再取拉氏逆变换就得出象原函数，即方程的解2025/7/1031 祝大家取得好成绩！祝大家取得好成绩！谢谢大家！谢谢大家！2025/7/1032
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