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1、定积分中的几何直观方法与不等式的证明（孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分与进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。关键词：高指数；不等式；算术几何均值；定积分；数列1引言文1中给出了一个不等式： （） （1）田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是命题1【2】设且，则有 （2）文2的证明方法是借助于算术几何均值不等式，分与进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程
2、繁琐，而且对其证明思路难以把握。文3 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文4借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：命题1的证明【4】 当，时，对于，有，即，两边取积分，得，（3）即得 （4）对（3）两边分别求和，即得 （5）命题1得证。该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。（图1）在文5中，又把（1）式推广为：命题2【】已知为等差数列且，公差，则 （6）其证明方法与文1本质上是一样的。本文将借鉴4中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有
3、关结果作进一步的推广。主要结果下面借鉴文4中定积分的的方法，把命题2推广为定理1 设为等差数列且，公差，则 （7）为证明定理1，先证明下面的引理引理1设为等差数列且，公差，则 （8）证明因为数列是等差数列，且，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为，不妨令，则有即 （9）对（9）两端在上取积分，有 （10）即 （11）由（11），即得定理1的证明由引理1可得 （12） 对（12）式的两边同时求和，得即故有同理，由 （13）对式（13）的两边同时求和，可得到故定理1得证。引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。（图2）如果注意到函数（）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质
4、：性质1任意两点间的弧段总在这两点连线的上方；性质2曲线总在它的任一切线的上方。那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到定理2设为等差数列且，公差，则 （14）证明因为（）是下凸函数，由上述两条性质，得即得 （15）对（15）两端在上积分，得（14）成立。定理2证明的几何意义，可参考下面图3。（图3）推论1当，时，有该结果显然比（4）式更为精细。应用例子例1【】 试求的整数部分解由（1）式，得于是可以判断，故。例2【】 试求的值，式中解由命题1，可得所以。例3 设，求不超过的最大整数 解对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，（），令数列的通项公式为，
5、由定理1，可得即 所以。例4 设，求的近似值（绝对误差不超过）解记数列是以为首项，公差的等差数列，那，这里，由定理1，得即由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.0580.06，故s可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。4其它应用在文6中，作者给出了二次根式的一个不等式：命题3【】 设,则（16）当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？考虑函数与，则由，得 即 （17）由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的
6、左右两端分别代表两个曲边梯形的面积 （如图4）（图4）事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式 （） （18）就可以利用 （19）来认识其几何意义。由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。下面例子选自高等数学附册学习辅导与习题选解一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。命题4【7】设，证明 （20）文献7关于不等式（20）的证明思路是：而，故有，因此由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。另证因为（）是下凸函数，函数在点的切线方程为，根据下凸函数的几何性质，有（21）当，时，有，将（21
7、）中的换成，得（22）再对（22）两端在上积分，立得结论成立。下面改进不等式（20）两端的常数，将得到如下更加精细的结果：推论2设，则证明考虑函数在点的切线方程为，而函数的两个端点、的连线方程为，根据下凸函数的几何性质，有（23）将（23）中的换成，得 （24）再对（24）两端在上积分，得再结合命题4所证，故得。参考文献：1 徐利治，王兴华. 数学分析的方法及例题选讲M. 北京: 高等教育出版社, 19842 田寅生. 一个不等式的指数推广及应用J. 中学数学月刊，2003（9）3 刘玉琏等. 数学分析讲义练习题选解(第一版) M. 北京: 高等教育出版社, 19964 胡付高. 一个不等式的简证及其几何直观J. 中学数学,2004（2）5 田寅生. 一个不等式的推广、加强及应用J. 数学通报, 2004（2）6 赵思林. 关于二次根式的一个不等式及应用J. 中学数学, 2007（9）7 同济大学应用数学系. 高等数学附册, 学习辅导与习题选解M. 北京: 高等教育出版社, 1983另加若干参考文献