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1、5 同方向简谐振动的合成同方向简谐振动的合成 一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成 )cos( 111 + += =tAx)cos( 222 + += =tAx 合位移：合位移： 21 xxx+ += =)cos( 11 + += =tA)cos( 22 + + +tA )cos( + += =tAx )cos(2 1221 2 2 2 1 +=+=AAAAA 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA + + = + + = )cos( 111 + += =tAx x 1 A v 1 2 A v 2 A v x2 x1 x x2
2、 N Q M1 M2 M )cos( 222 + += =tAx P x = x1 + x2旋转矢量法旋转矢量法 OOM1M 中中 )( 121 =MOM )(cos2 1221 2 2 2 1 2 +=+=AAAAA )cos(2 1221 2 2 2 1 +=+=AAAAA ON MN = = tan 2211 2211 coscos sinsin AA AA + + = + + = )cos(2 1221 2 2 2 1 +=+=AAAAA 讨论：讨论： 2121 AAAAA+? k =0,1,2? 若若 2 1 = 2k 则则 cos( 2 1 )=1 =A1+A2=A max 21
3、2 2 2 1 2AAAAA+=+= A max = 2 A1 若若A1 =A2 k =0,1,2则则? 若若 2 1 = ( 2k + 1) cos( 2 1 )= 1 =A min 21 2 2 2 1 2AAAAA+=+= 21 AA = 若若A1 =A2A min= 0 振动互相抵消，质点处于静止状态。振动互相抵消，质点处于静止状态。 相差对振动合成起着重要作用相差对振动合成起着重要作用 例：某质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动例：某质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动 ) 3 3cos(4 .0 1 +=+=tx) 6 3cos(3 .0 2 =tx 求 ：求 ： (1)
4、合振动的表达式合振动的表达式 )3cos(5 .0 33 + += =tx O x 1 A v 2 A v A v /3 / 6 (2) 若若 3 为多少时，三者合振幅最大？为多少时，三者合振幅最大？ 3 为多少时，三者合振幅最小？为多少时，三者合振幅最小？ (1) 1 2 = / 2 解：解： 4 . 0 3 . 0 tan= = 2 2 2 1 AAA+=+= = = OAA1 = 0.5(m) 21. 0= = 12. 03/= = = = )12.03cos(5 .0+ += =tx (2) 3 = = 0.12，A max = A1+A2=0.5+0.5=1.0(m) 3 = + =
5、1.12，A min=A1 A2=0.50.5= 0(m) 二、同一直线上二、同一直线上 n 个同频率的简谐振动的合成个同频率的简谐振动的合成 tax cos 1 = = C R R A 1 a 2 a v 3 a v M )cos( 2 + += =tax )2cos( 3 + += =tax )1(cos + += =ntax n v C: 正多边形外接圆圆心，半径正多边形外接圆圆心，半径 R )cos( + += =tAx O C 1 a v 2 a v R R A Q MCO = n 2 sin2 n RA= 2 sin2 Ra= )2/sin( )2/sin( n aA = = )(
6、 2 1 nCOM= )( 2 1 =CON COMCON = = )1( 2 1 =n D M PCQ = OCN = MCO中中 x N OCN中中 P )cos( + += =tAx ) 2 1 cos( )2/sin( )2/sin( += += n t n a )2/sin( )2/sin( n aA = =讨论：讨论： ? 若若 = = 2k，k = 0,1,2 A = n a n k 2 = = k为非零整数，但为非零整数，但 k 不为不为 n 的整数倍的整数倍 ? 若若 k = 1,2, (n-1), (n+1), n = 2 k A = 0 三、同方向不同频率的简谐振动的合成
7、三、同方向不同频率的简谐振动的合成 1 A v ),cos( 111 + += =tAx 2 A v )cos( 222 + += =tAx )()( 1122 + + + += = tt)()( 1212 + + = =t 合振动合振动 x = x1+x2)cos( 11 + += =tA)cos( 22 + + +tA 若若 1= 2=0 ttAx) 2 cos() 2 cos(2 1212 + = + = 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动 特例：若特例：若 2 与 2 与 1都较大但是数值相近 , 1都较大但是数值相近 , 2 2 1 ， 1 ， 2 2 1 1 特例：若特例：若 2
8、 与 2 与 1 相近(都较大） , 1 相近(都较大） , 2 2 1 ， 1 ， 2 2 1 1 x = x1+x2tA 1 cos = =tA 2 cos + + ttAx) 2 cos() 2 cos(2 1212 + = + = 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动 当当 2 1时 时 2 1 1 ， 1 ， 2 2 1 考虑旋转矢量图 1 考虑旋转矢量图 1 A v 单位时间内转单位时间内转 1圈圈 2比比1多转多转( 2 1)圈圈 2 A v 单位时间内转单位时间内转 2圈圈 1 A v 2 A v 相重相重( 2 1)次振动加强次振动加强( 2 1)次 振动减弱 次 振动减弱(
9、 2 1)次相背次相背( 2 1)次 拍频 次 拍频 = = ( 2 1)形成拍形成拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象 拍频拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。 = | 2 - 1| 6 相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成 x y O 同相同相 反相反相 A1A1 A2 A2 一、同周期一、同周期 )cos( 11 + += =tAx )cos( 22 + += =tAy 0. 1 12 = 21 A y A x = = 同相同相 x A A y 1 2 = = 22 yxs+=+=)cos( 2 2 2 1 +=+=tAA 合振动为简谐振动合
10、振动为简谐振动 x A A y 1 2 = = . 2 12 = = 反相反相 x y O A1 A1 A2 A2 )cos( 11 + += =tAx )cos( 22 + += =tAy 2 . 3 12 = 1 2 2 2 2 1 2 =+=+ A y A x y 超前超前 x 轨迹：以坐标轴为轴的正椭圆轨迹：以坐标轴为轴的正椭圆 x y O A1 A1 A2 A2 顺时针顺时针 2 . 4 12 = x 超前超前 y 1 2 2 2 2 1 2 =+=+ A y A x 逆时针逆时针 )cos( 11 + += =tAx)cos( 22 + += =tAy 5. 一般一般 )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 =+=+ AA xy A y A x 轨迹为椭圆轨迹为椭圆 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4 Q = /4 P . 二、不同周期二、不同周期 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4 Q = /4 P . 1. 两振动频率相差很小两振动频率相差很小 2. 两振动频率相差较大，但有简单的整数比两振动频率相差较大，但有简单的整数比 ( 书书 P198)