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1、1实数大小比较的方法知多少实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考1利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法例1已知abc，试比较a2bb2cc2a与ab2bc2ca2的大小解a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(a2bab2)(b2cbc2)(c2aca2)ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(ba)(ac)ca(ca)ab(ab)bc(ba)bc(ac)ca(ca)b(a
2、b)(ac)c(ac)(ba)(ab)(ac)(bc)abc，ab0，ac0，bc0，(ab)(ac)(bc)0.a2bb2cc2ab1；abb1.a1；ab1.作商比较法的基本步骤：作商；变形；与1比较大小；下结论例2设a0，b0，且ab，试比较aabb，abba，(ab)三者的大小解aabbab.当ab0时，1，ab0，0，01，aabb(ab).当0ab时，01，ab0，01，aabb(ab).所以，不论ab0还是0a(ab).同理，(ab)abba.综上所述，aabb(ab)abba.3构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知ab，bcac，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一
3、个适当的中间值为媒介来间接地比较例3设alog3，blog2，clog3，则()Aabc BacbCbac Dbca解析alog3log331，a1.blog2log23log241，b1.clog3log32b，ac.又blog2log23，clog3log32c，abc.答案A4特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向例4若0a1a2,0b1，最大的数应是a1b1a2b2.(注：本题还可以利用作差法比较大小，此
4、答略)答案A5利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断例5当0ab(1a)b B(1a)a(1b)bC(1a)b(1a) D(1a)a(1b)b解析对于A，0abb，(1a)(1a)b，A错误；对于B，函数y(1a)x为R上的单调递增函数，(1a)a(1a)b.又函数yxb在(0，)上为单调递增函数，(1a)b(1b)b，从而(1a)a，(1a)b(1a)，C错误；对于D，函数y(1a)x为R上的单调减函数，且a(1a)b.又函数yxb为(0，)上的单调递增函数，且1a1b0，从而(1a)b(1b)b，所以(
5、1a)a(1b)b，D正确，故选D.答案D6借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论例6设a、b、c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则()Aabc BcbaCcab Dbac解析由函数y2x，yx，ylog2x，ylogx的图象(如图所示)知0ab10(aR)解对于方程x2ax10，a24，(1)当0，即a2或a2时，方程x2ax10有两个不等实根，x1，x2，且x1x2，所以原不等式的解集为；(2)当0，即a2时，若a2，则原不等式的解集为x|x1，若a2，则原不
6、等式的解集为x|x1；(3)当0，即2a0(aR，且a0)解原不等式可变形为(xa)0，易求得方程(xa)0的两个解分别为x1a和x2，所以(1)当a，即a(1,0)(1，)时，原不等式的解集为；(2)当a，即a1时，若a1，则原不等式的解集为x|x1，若a1，则原不等式的解集为x|x1；(3)当a0时，1，所以原不等式的解集为；当a0时，a当2a0时，1，所以原不等式的解集为；b当a2时，原不等式的解集为x|x1；c当a1，所以原不等式的解集为.综上，当a0时，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式的解集为；当2a0时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为x|x1；当a2时，原
7、不等式的解集为.4对含参数的分式不等式转化后再讨论对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解例4解不等式0(x2)(kx3k2)0.当k0时，原不等式解集为x|x2；当k0时，(kx3k2)(x2)0，变形为(x2)0，因为332，所以2.所以x2.故不等式的解集为；当k0时，原不等式(x2)0，由于(2).所以当2k0时，0，2，不等式的解集为；当k2时，2，原不等式(x2)20，不等式的解集为；当k0，2.不等式的解集为.综上所述，当k0时，不等式的解集为x|x2；当k0时，不等式的解集为；当2k0时，不等式的解集为x|
8、2x；当k2时，不等式的解集为；当k0的等价条件是或例1已知不等式2对任意xR恒成立，求k的取值范围解x2x220.原不等式等价于kx2kx62x22x4，即(k2)x2(k2)x20.当k2时，20，结论显然成立；当k2时，k满足不等式组解得2k10.综上所述，k的取值范围是2k0对一切xR恒成立，求实数a的取值范围解设f(x)sin2x2asin xa22a2，则f(x)(sin xa)222a.当a0显然成立；a0，解得a1，1a1，1a1时，f(x)在sin x1时取到最小值，且f(x)mina24a3，由a24a30，解得a3，a1，a3.综上所述，a的取值范围为a3.3利用直线型函
9、数图象的保号性求解函数f(x)kxb，x，的图象是一条线段，此线段恒在x轴上方的等价条件是此线段恒在x轴下方的等价条件是此线段与x轴有交点的等价条件是f()f()0.例3已知当x0,1时，不等式2m10，x0,1恒成立ma恒成立，求a的取值范围解不等式f(x)ax2ax3ax23a(1x)，x1,11x1，01x2.当x1时，1x0，x23a(1x)对一切aR恒成立；当x1时，01x2，则a.(1x)2222，当且仅当1x，即x1时，取到等号min2.从而a2.综上所述，a的取值范围为a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是()A(1,3 B2，C2,9 D，9解析作二元一次不等式组的可行域
10、如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)当yax过A(1,9)时，a取最大值，此时a9；当yax过C(3,8)时，a取最小值，此时a2，2a9.答案C点评准确作出可行域，熟知指数函数yax的图象特征是解决本题的关键2线性规划与概率交汇例2两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去请问这两个人能见面的概率有多大？解用x、y分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|xy|20，又0x60,0y60，即有作出点(x，y)的可行域如图所示中阴影部分由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积比大正方形的面积，所以所求概率为P.点评这是一道几何概型的题目
11、，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了3线性规划与一元二次方程交汇例3已知方程x2(2a)x1ab0的两根为x1、x2，且0x11x2，则的取值范围是_解析令f(x)x2(2a)x1ab，并且0x11x2，则由题意知函数f(x)在(0,1)及(1，)内各有一个零点，得即作出可行域，如图所示而令k，则表示可行域内的点与原点连线的斜率设M(x0，y0)，则由得M(3,2)，kOM，结合图可知2k0)，求实数m的取值范围解设A(x，y)|B(x，y)|x2y2m2 (m0)，则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以坐标原点为圆心，m为半径的圆及其内部，由AB得，
12、m|PO|，由解得即P(3,4)，|PO|5，即m5.点评集合(x，y)|x2y2m2 (m0)的几何含义是以原点(0,0)为圆心，m为半径的圆及其内部区域5线性规划与平面向量交汇例5已知O为坐标原点，定点A(3,4)，动点P(x，y)满足约束条件则向量在上的射影的取值范围是()A. B.C. D.解析画出不等式组所表示的平面区域，如图所示向量在向量上的射影为|cosAOP|.令z3x4y，易知直线3x4yz过点G(1,0)时，zmin3；直线3x4yz过点N(1,2)时，zmax11.min，max.故选D.答案D点评向量在上的射影为|cos，|.清楚这一点对解答本题至关重要6运用均值不等式
13、求最值的7种常见技巧在利用均值不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要作一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明1凑和为定值例1若a，b，c0，且2abc，则a(abc)bc的最大值为()A. B.C. D2分析注意a(abc)bc(ab)(ac)，而2abc(ab)(ac)，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用均值不等式求最值解析a(abc)bca2abacbc(a2ac)(abbc)a(ac)b(ac)(ab)(ac)222.当且仅当abac时，取“”，a(abc)bc的最大值为.故选C.答案C2凑积为定值例2设abc0，则2a210ac25c2的最小值是
14、()A2 B4C2 D5分析注意到2a210ac25c2a2ababa210ac25c2(a5c)2，然后分别利用均值不等式和平方数的性质求最值由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件解析abc0，原式a210ac25c2a2a2abab(a5c)22204，当且仅当a(ab)1，ab1，a5c0时取等号即当a，b，c时，所求式的最小值为4.答案B3化负为正例3已知x，求函数y4x2的最大值分析因为4x50，所以要先“调整”符号，又(4x2)不是常数，所以对4x2要添项“配凑”解x0，y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.4和积互“化”例4若正实数x
15、，y满足2xy6xy，则2xy的最小值是_分析可以利用均值不等式的变形形式ab2进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质解析方法一x0，y0，xy(2x)y2，2xy6(2xy)6(2xy)2，(2xy)28(2xy)480，令2xyt，t0，则t28t480，(t12)(t4)0，t12，即2xy12.方法二由x0，y0,2xy6xy，得xy26(当且仅当2xy时，取“”)，即()2260，(3)()0.又0，3，即xy18.xy的最小值为18，2xyxy6，2xy的最小值为12.答案125消元法例5若正实数a，b满足abab3，则ab的最小值为_分析
16、从abab3中解出b，即用a的代数式表示b，则ab可以用a来表示，再求关于a的代数式的最值即可解析abab3，b.a0，b0，0，a1.aba(a1)5.a1，a124，当且仅当a1，即a3时，取等号，此时b3，ab9.ab的最小值为9.答案96平方法例6若x0，y0，且2x28，求x的最大值分析仔细观察题目已知式中x与y都是二次的，而所求式中x是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x平方，则豁然开朗，思路就在眼前了解(x)2x2(62y2)32x23232.当2x21，即x，y时，等号成立故x的最大值为.7换元法例7某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)
17、为50x80时，每天售出的件数为P，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解设销售价格为每件x元(500对xR恒成立，即，a1.错解2函数ylg(ax22xa)的值域为R.代数式ax22xa能取遍一切正值44a20，1a1.点拨上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a0时，代数式ax22xa不可能取到所有正数，从而也是错误的正解当a0时，ylg(2x)值域为R，a0适合当a0时，ax22xaa2为使ylg(ax22xa)的值域为R，代数式ax22xa应取到所有正数所以a应满足，解得00时，目标函数值与直线在y轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b0，y0，且x2y1，求的最小值错解因为x0，y0，且x2y1，(x2y)224.所以的最小值为4.点拨上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式，忽视了等号成立的一致性正解因为x0，y0，且x2y1，所以123232.当且仅当且x2y1，即x1，y1时，取得等号所以的最小值为32.