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1、第2课时公理4(平行公理)与异面直线所成的角问题导学1公理4的应用活动与探究1在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD上的点且，请回答并证明当空间四边形ABCD的四条边及点G，H满足什么条件时，四边形EFGH，(1)为平行四边形？(2)为菱形？迁移与应用如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行
2、2等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.迁移与应用如图，空间图形ABCD的四个面分别为ABC，ACD，ADB和BCD，E，F，G分别是线段AB，AC，AD上的点，且满足AEABAFACAGAD求证：EFGBCD1要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可2空间中证明两个角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，还可以利用平行四边形的对角相等在利用等角定理时，关键是弄清楚两个角对应边的关系3异面直
3、线及其所成的角活动与探究3如图，已知正方体ABCDABCD.(1)哪些棱所在的直线与直线BC是异面直线？(2)求异面直线AD与BC、AC与AB所成角的正切值迁移与应用已知正方体ABCDABCD，求：(1)BC与CD所成的角；(2)AD与BC所成的角由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是：平移构造三角形解三角形作答在几何体中进行平移构造异面直线所成角时，一般选择两异面直线中一条上的一点，或几何体顶点、棱的中点等特殊点当堂检测1空间两个角，的两边分别对应平行，且50，则等于()A50 B130 C40 D50或1302空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是(
4、)A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_(第3题图)4如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有_对(第4题图)提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学预习导引1平行ac预习交流1提示：(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础(3)关键：寻找第三条直线分别与前两条直
5、线平行是应用公理4证明线线平行的关键2相等或互补预习交流2提示：相等；互补3不在预习交流3提示：一定不相交若对角线相交，则四个顶点共面，这与定义中四个顶点不共面相矛盾4锐角直角互相垂直预习交流4提示：两条异面直线所成角的范围是(0，90课堂合作探究问题导学活动与探究1思路分析：由，可想到证明EFAC；为使四边形EFGH为平行四边形，需证明GHEF，且GHAC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成立的情况下，还需证明EHEF，进一步可得AC，BD的关系解：(1)当时，四边形EFGH为平行四边形理由：，EFAC且EFAC.若，则HGAC且HGAC.EFHG，EFHG，四边形EFGH为平行四边形(2
6、)当且ACBD时，四边形EFGH为菱形理由：由(1)知，若，则四边形EFGH为平行四边形，且EFAC，EHBD.若ACBD，则EFACBDEH.平行四边形EFGH为菱形迁移与应用证明：(1)如题图，在ABD中，EH是ABD的中位线，EHBD，EHBD.又FG是CBD的中位线，FGBD，FGBD，FGEH，E，F，G，H四点共面又FGEH，四边形EFGH是平行四边形(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.四边形EFGH是矩形，EHGH.ACBD.活动与探究2思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用定理证明或利用三角形全等证明证明：(1)
7、在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，MM1AA1，MM1AA1.又AA1BB1，AA1BB1，MM1BB1，且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形(2)方法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角，BMCB1M1C1.方法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1.BMCB1M1C1.迁移与应用证明：在ABD中，AEABAGAD，EGBD.
8、同理，GFDC，EFBC.又GEF与DBC两组对边方向分别相同，GEFDBC.同理，EGFBDC.EFGBCD.活动与探究3思路分析：(1)按照异面直线的定义进行判断；(2)根据异面直线所成角的定义进行求解解：(1)所在直线与BC是异面直线的棱有：AA，DD，AB，DC，AD，AD.(2)因为ADBC，所以AD与BC所成的角就是BC与BC所成的角，而BCBC，所以AD与BC所成的角等于90，其正切值不存在因为ABCD，所以ACD就是异面直线AC与AB所成的角在ACD中，若设正方体棱长为a，则CDa，ADa，ACa，因此ACD是直角三角形，于是tanACD.迁移与应用解：(1)连接BA，则BACD，则ABC就是BC与CD所成的角连接AC，由ABC为正三角形，知ABC60.即BC与CD所成的角为60.(2)由ADBC，知AD与BC所成的角就是CBC.易知CBC45.当堂检测1D2C36043