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1、平行四边形的判定定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依
2、据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）（1）在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形（2）若以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点D的坐标是_.【思路点拨】（1）分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时，画出图形，根据A、B、C的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可【答案与解析】（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACB
3、D1，D1的坐标是（-6，2），以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD2，D2的坐标是（0，2），以BC为对角线时，得出平行四边形ABD3C，D3的坐标是（-2，-2），（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论举一反三【变式】（2016呼伦贝尔）如图，分别以ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE，已知：BAC=30，EFAB，垂足
4、为F，连接DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形【答案】证明：（1）ABC中，BAC=30，AB=2BC，又ABE是等边三角形，EFAB，AB=2AFAF=BC，在AFE和BCA中，AFEBCA（HL），AC=EF；（）ACD是等边三角形，DAC=60，AC=AD，DAB=DAC+BAC=90又EFAB，EFAD，AC=EF，AC=AD，EF=AD，四边形ADFE是平行四边形2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位用实数加法表示为3+（-2）=1若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，
5、平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”；“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，b+c，d=a+c，b+d解决问题：（1）计算：3，1+1，2；1，2+3，1；（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”3，1平移到A，再按照“平移量”1，2平移到B；若先把动点P按照“平移量”1，2平移到C，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC证明四边形OABC是平行四边形（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，
6、5），最后回到出发点O请用“平移量”加法算式表示它的航行过程【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可【答案与解析】解：（1）3，1+1，2=4，3；1，2+3，1=4，3（2）画图最后的位置仍是B证明：由知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）OC=AB=12+22=5，OA=BC=32+12=10，四边形OABC是平行四边形（3）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为2，3，同理得到P
7、到Q的平移量为3，2，从Q到O的平移量为-5，-5，故有2，3+3，2+-5，-5=0，0【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位用实数加法表示为5+（-2）=3若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”
8、规定“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，b+c，d=a+c，b+d（1）计算：3，1+1，2；（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”2，1平移到点B，再按照“平移量”-1，2平移到点C；最后按照“平移量”-2，-1平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90，点B旋转到点E，连结AE、BE若动点P从点A出发，沿AEB的三边AE、EB、BA平移一周请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程【答案】解：（1）3，1+1，2=4，3；（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为
9、：（3-1，2+2）=（2，4）；D点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；如图所示：D（0，3）（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为：1，-2+1，3+-2，-13、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F求证：四边形AECF是平行四边形FDOEBO,ODOB【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可
10、证OF=OE，OA=OC，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决【答案与解析】证明：四边形ABCD是平行四边形，OD=OB，OA=OC，ABCD，DFO=BEO，FDO=EBO，在FDO和EBO中，DFOBEOFDOEBO（AAS），OF=OE，四边形AECF是平行四边形【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、（2015河南模拟）如图，ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已
11、点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出DGB=ACB，由等腰三角形的性质得出B=ACB，得出B=DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论【答案与解析】解：（1）四边形C
12、DGE是平行四边理由如下：如图1所示：D、E移动的速度相同，BD=CE，DGAE，DGB=ACB，AB=AC，B=ACB，B=DGB，BD=GD=CE，又DGCE，四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，DMBC，BM=GM，DGAE，GF=CF，BM+CF=GM+GF=MF【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AEBD于E，CFBD于F（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、
13、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）【答案】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，AEB=CFD=90，ABECDF（AAS），BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形证明：由（1）可知：BE=DF，四边形ABCD为平行四边形，ADBC，MDB=NBD，DM=BN，DMFBNE，NE=MF，MFD=NEB，MFE=NEF，MFNE，四边形MENF是平行四边形5、如图，已知在YABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、H
14、F、FG（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，ABCD，根据两直线平行内错角相等得GBE=HDF再由SAS可证GBEHDF，利用全等的性质，证明GEF=HFE，从而得GEHF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证（2）仍成立可仿照（1）的证明方法进行证明【答案与解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，GBE=HDF又AG=CH，BG=DH又BE=DF，GBEHDFGE=HF，GEB=HFD，G
15、EF=HFE，GEHF，四边形GEHF是平行四边形（2）解：仍成立（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形举一反三【变式】如图，YABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AEBD于E，CFBD于F，BGAG于G，DHAC于H求证：四边形GEHF是平行四边形ABECDF,AEBCFD【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，BO=DO，AO=CO，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，AEB=CFD=90，在ABE和CDF中,ABCDABECDF（AAS），BE=DF，BO-BE=DO-DF，即：EO=FO，同理：ABGCDH，AG=CH，AO-AG=CO-CH，即：GO=OH，四边形GEHF是平行四边形