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1、摘摘 要要 随着网络技术的发展，越来越多的图像信息在网络中传输，使得图像信息 的安全性尤为重要。保障图像信息安全性最常用的方法就是图像置乱，图像置 乱有许多置乱算法，Arnold 变换因其简单而广为使用。现在对于 Arnold 变换 通常应用于正方形图像置乱的研究。而对于高宽不等的矩形图像，现有的方法 是将 Arnold 变换推广后对高宽满足一定条件的图像进行置乱，但它不适用于所 有高宽不等的图像；另一种方法是将矩形图像按长边扩充为正方形图像后用 Arnold 变换进行置乱，但该算法改变了图像的属性。针对现有算法存在的问题 提出了一种新颖的方法，该方法采用划分的方式使得非等长图像可应用 Arn
2、old 变换进行图像置乱。对非等长图像只需根据高与宽计算出划分时的重合区域， 按短边为边长对非等长图像划分为几个正方形图像，然后对每个正方形图像依 次运用 Arnold 变换进行置乱。置乱后的图像从反方向依次对划分的正方形图像 运用 Arnold 反变换将图像恢复。最后，在 MATLAB 下对算法进行了仿真实验。 实验结果表明，该算法具有很好的置乱效果，同时该算法可广泛应用于非等长 图像的置乱变换过程。 关键词： 数字图像 ；图像置乱；Arnold变换；非等长图像 ABSTRACT With the development of network technology, more and mor
3、e image information is transmitted in the Internet, which makes the security of image information particularly important. The most common method to ensure the security of image information is image scrambling. There are many hashing algorithms, of which Arnold transform is widely used for its simpli
4、city. Now Arnold transform is applied in the study of image scrambling of square. For the rectangular images with different height and width, the current approach is to scramble images which meet the required height and width. But it does not apply to all images especially with different height and
5、width. Another method is to expand rectangular images to square by lengthen the edge. Then using Arnold transform to scramble the square image. But this hashing algorithm has changed the attribute of the image. Due to the problems existing in the current algorithm, a novel method has been put forwar
6、d, which applies a way of dividing tubes to make images use Arnold transform. For those images with different length, we only need to calculate superposition region, and then use Arnold transform to scramble each square image. The scrambled image should be restored by using reverse Arnold transform
7、from reverse direction. In the end, the author carried out simulation experiment under MATLAB. The results show that this algorithm has very good effect on scrambling. At the same time, it can be widely used in the process of scrambling transformation of images with different lengths. Key words: Dig
8、ital Image; Image Scrambling; Arnold Transformation; The Tubes image 目 录 第 0 章 引 言.1 0.1 图像置乱技术概述.1 0.1.1 图像置乱以及图像置乱技术 .1 0.1.2 图像置乱技术的应用 .1 0.1.3 图像置乱的意义 .2 0.2 本文的研究意义及结构.3 0.2.1 本文的研究意义 .3 0.2.2 本论文的结构安排 .3 第 1 章 基于二维 Arnold 变换的非等长数字图像置乱算法.4 1.1 二维 Arnold 变换.4 1.2 现有算法.4 1.2.1 算法一：基于扩充图像的方法 .4 1.
9、2.2 算法二：基于二维 Arnold 变换推广式的方法 .5 1.2.2.1 二维 Arnold 变换的推广 .5 1.2.2.2 推广式的周期存在性问题 .5 1.3 现有算法中的不足 .6 1.4 基于区域划分方法的非等长数字图像置乱.6 1.4.1 划分算法 .6 1.4.2 置乱恢复 .8 第 2 章 仿真实验.11 2.1 算法的有效性实验.11 2.2 置乱恢复实验.11 2.3 算法安全性实验.12 2.4 与现有算法一比较实验.12 第 3 章 结束语.14 参考文献.15 谢 辞.16 附 录.17 第 0 章 引 言 0.1 图像置乱技术概述 0.1.1 图像置乱以及图像
10、置乱技术 图像是人类描述客观世界的最有效的手段之一，凡是记录在纸上的,拍摄在 照片上的,显示在屏幕上的所有具有视觉效果的画面都可以称之为图像。数字图 像可以用一个矩阵来表示，矩阵的元素所在的行和列,就是图像显示在计算机屏 幕上各像素点的坐标,元素的数值就是该像素的灰度值。 图像置乱,顾名思义,就是把图像打乱，从而隐藏原始图像的真实内容。对 于数字化的图像，置乱过程不仅可以在数字图像的空间域（色彩空间、位置空 间）上进行，而且可以在数字图像的频域上进行。数字图像位置空间上的置乱 就是几何变换，即只改变像素的几何位置，而不改变像素的灰度值，因此图像 置乱一次的效果取决于几何变换作用的范围大小。对于
11、数字化的图像置乱过程 不仅可以在数字图像的空间域（色彩空间、位置空间）上进行,还可以在数字图 像的频域上进行。数字图像置乱即是对数字图像的一种加密方法，它使得合法 使用者可以自由控制算法的选择、参数的选择以及使用随机数技术，这就加大 了攻击者非法破译的难度。空间域的图像置乱是利用某种算法将一幅图像各像 素的次序打乱，但像素的总个数不变，直方图不变，使一幅图像变得“面目全 非”。 数字图像置乱技术,可以看作数字图像加密的一种途径,也就是改变图像中像 素的位置或者像素的颜色,将原始图像变换成一个无内容、无纹理、无形状的杂 乱无章的新图像的过程。 0.1.2 图像置乱技术的应用 随着网络技术和多媒体
12、的飞速发展，数字图像信息作为一种重要的资料， 被广泛地在网络上传播。人们通过这种新的媒体互相传递信息，简单快捷，但 随之而来的是这些信息的安全隐患，越来越多的图像信息被泄露、纂改和假冒， 给个人隐私、公司利益，甚至国家安全都带来了重大的威胁。对数字图像的安 全性这个领域的主要研究方向有数字图像置乱技术、数字图像分存技术、数字 图像隐藏技术和数字水印技术。因此，网络信息加密成为首要研究的问题，而 保障图像信息安全最常用、最直接的方法就是加密当前对图形的加密所采用的 方法主要是对图像像素点位置进行置乱,或对图像像数值进行置混，或将置乱和 置混结合起来。 0.1.3 图像置乱的意义 数字图像信息安全
13、是数学、密码学、信息论、计算机视觉以及其它计算机 应用技术的多学科交叉的研究课题。数字图像置乱作为图像信息加密的一种方 法或图像信息隐藏的预处理手段，越来越受到关注，它起源于早期的经典加密 学理论和电视图像应用技术。经典密码学对一维数据流提了较好的加密算法， 但对数字图像的处理却不能忽视其固有的一些特殊性质，如二维的自相似性、 相关性等。图像是含有大量信息的信息载体，且包含大量的冗余信息，作为直 观的信息表达方式，具有很大的迷惑性。如果我们对数字化图像做一些“扰乱” ，得到一幅完全杂乱无章、面目全非的图像，那么即使非法截获者注意到它， 如果不知道如何恢复，对它也无能为力，这在一定程度上增强了图
14、像的安全性。 置乱技术就是这样一项研究课题，它从一维的单表密码扩展而来，应用到二维 图像平面、甚至三维图像色彩空间中，扰乱图像的组成部分，破坏图像的自相 关性，使其所要表达的真实信息无法直观地得到，即使计算机用“穷举法”计 算各种组合，也要耗费大量的时间，在一定程度上保护了图像信息。 通过置乱数字图像可以达到两个目的：第一是加密处理，图像置乱变换是 一种基于内容的图像加密方法，就像不知道加密密钥对加密过的信息进行解密 一样，如果不知道置乱所采用的算法，同样难以恢复原始图像；第二是作为信 息隐藏的预处理手段可以增强图像伪装的鲁棒性,首先，将图像置乱后，将得到 一幅杂乱无章的图像,这样的图像无内容
15、、无纹理、无形状，从中无法读取有意 义的信息,那么,将这样一幅图像嵌入到另一幅普通图像时就不容易引起那幅图 像在内容、纹理、形状上的太大改变，甚至不会发生改变，这样人眼就不易识 别，从而逃出了第三方的视线；其次，由于秘密图像是置乱后的图像，根据上 述图像的“三无”特征，第三方难以对其进行内容、纹理、形状等的统计分析， 即便他们截取到了秘密图像，也是无能为力的。如果第三者企图对秘密图像进 行反置乱，这也是非常困难的，由于图像置乱有很多种方法，每种方法又可以 使用不同置乱模板算法，设置不同的参数，使用者有很大的自由度，他可以根 据自己的想法得到不同的结果。相反，这给企图截获秘密信息的第三方带来了
16、很大的困难，使他们需要耗费巨大的计算量来穷举测试各种可能性；最后，如 果第三方反置乱不成，在隐蔽载体上作了恶意修改，合法接收者在对接受到的 秘密图像进行反置乱的过程中，就使得第三方在图像上所涂、画的信息被分散 到画面的各个地方，从而形成了点状的随机噪声,不会对视觉效果造成较大的影 响。 0.2 本文的研究意义及结构 0.2.1 本文的研究意义 其中 Arnold 变换算法简单且置乱效果好而在图像中应用最广泛。目前 Arnold 变换的研究主要集中在正方形图像置乱的方面,针对非正方形的置乱尚 很少。目前已有的方法要么将非正方形图像扩展为正方形图像后应用 Arnold 变换，要么将 Arnold
17、变换推广针对非高宽比例满足一定条件的图像进行置乱。 本文提出了一种 Arnold 变换应用于非等长图像置乱的方法，该方法在不 改变图像形状的条件下对任意高宽比例的长方形图像应用 Arnold 变换进行置 乱过程,扩展了 2 维图像置乱变换在非等长图像上的应用。 0.2.2 本论文的结构安排 本文的主要结构包括三个方面,第一部分：介绍了 Arnold 变换公式,及其置 乱过程。其次,阐述了 Arnold 变换公式不能直接用于非等长图像的原因。第二 部分，介绍了现有算法并分析了现有算法存在的问题。第三部分，提出了给予 划分思想的非等长图像的 Arnold 变换置乱方法,并对其置乱恢复所需的反变换
18、算法进行了阐述。第四部分：给出了实验仿真结果。对本文所提出的划分思想 及划分公式进行了验证。 第 1 章 基于二维 Arnold 变换的非等长数字图像置乱算法 1.1 二维 Arnold 变换 二维 Arnold 变换也就是通常所说的Arnold 变换 ,俗称 “猫脸变 换”,它是 V.I Arnold 提出的。 定义 1 设图像矩阵大小为,像素坐标为且NN( , )x y .若映射为满足式（ 1）,则成为二维等长,0,1,2,1x yN( , )x y( ,)x y Arnold 变换，简称 Arnold 变换。 （1） 11 mod 12 xx N yy 称为 Arnold 变换矩阵，为数
19、字图像矩阵的阶。 11 12 A N 将 Arnold 变换应用在数字图像上,可以通过像素坐标的改变而改变 图像灰度值的布局，把数字图像看作一个矩阵，则经Arnold 变换变 换后的图像会变得 “混乱不堪 ”,这就是图像置乱的概念。 1.2 现有算法 对于二维 Arnold 变换非 正方形图像现在只有两种算法。算法一将非 等长图像扩展为正方形图像,算法二是将 Arnold 变换推广后 ,找到一 种高宽 满足一定条件的非等长图像可运用 Arnold 变换 进行图像置乱 处理。 1.2.1 算法一：基于扩充图像的方法 一般地，Arnold 变换都是对正方形图像进行处理。对于非等长图像，由于 长度和
20、宽度不相等，分别对长度和宽度的模运算就不一样了，所以在此处 Arnold 变换就不再是一一映射。因此,孔涛在文献8中提出把矩形图像转化为 正方形图像，其基本思想是：把原来的矩形图像扩充成正方形图像,然后再用 Arnold 变换进行图像置乱。如果长度大于宽度,则按长度的大小扩充成正方形 图像；如果宽度大于长度,则按宽度大小扩充成正方形图像，见图 1.1。 图 1.1 1.2.2 算法二：基于二维 Arnold 变换推广式的方法 1.2.2.1 二维 Arnold 变换的推广 李永逵,冯乔生等人在文献10中将二维等长 Arnold 变换推广以适用非等 长图像。 定义 2 设图像矩阵大小为，像素坐标
21、为，且MN( , )x y ，。若映射为满足式（2） ，则0,1,2,1xM0,1,2,1yN( , )x y( ,)x y 称为二维非等长图像置乱变换。 11 mod 12 xxM yyN （2） 1.2.2.2 推广式的周期存在性问题 通过二维等长 Arnold 变换和二维非等长图像置乱变换的定义发现,对于非 等长图像若想直接运用 Arnold 变换将图像置乱，就必须使得周期存在,而对于 非等长 Arnold 变换周期存在必须满足一定的条件。 定理 1 二维非等长置乱变换周期存在，当且仅当像素矩阵所有元素，按 式（2）一次迭代后，映射为新像素矩阵的不同元素。 9 定理 2 设像素矩阵为维，
22、对于所有不同为 0 的整数，若式MN 12 ,l l （3）和式（4）不同时成立,则二维非等长图像置乱变换周期存在。 9 12 2l Ml NM （3） 12 l Ml N （4） 定理 3 二维非等长 Arnold 变换周期存在的充要条件是M/N 为整数 或 N/M 为奇数。 10 邵利平,覃征等人在文献9-10中对上述三个定理进行了详细的证明,这里 就不在进行证明了。 1.3 现有算法中的不足 算法一把非等长图像扩充为等长图像则改变了图像的属性。算法二当所取 M,N 值满足充要条件时周期都存在。而当所取M,N 值不满足充要条件 时，都求不出周期 ,当然更无法进行图像置乱变换了。当M 和 N
23、 值不 满足充要条件时 ,便可能存在两点同时映射到一点，这样变换周期就不 存在了。 1.4 基于区域划分方法的非等长数字图像置乱 由于 Arnold 变换只能用于正方形图像置乱，对于不满足一一映射关系的非 正方形图像并不能直接运用 Arnold 变换实现图像置乱,为了使的非正方MN 形图像能用 Arnold 变换对图像实现置乱,就必须将的非等长图像划分成MN 多个正方形图像，再运用 Arnold 变换对图像进行置乱,如何对非正方形图像进 行是下面将要讨论的问题。 1.4.1 划分算法 1、对于的非等长图像，若，当时，把MNNM1 M N 的非等长图像划分为一个和的两部分图像（见()MN NMN
24、N()MNN 图 1.2）,运用 Arnold 变换将第一部分的图像置乱后，发现第二部分NN 的图像将无法运用 Arnold 变换进行置乱（见图 1.3） ，为了将()MNN 这一部分图像运用 Arnold 变换置乱,只有将的图像补()MNN()MNN 成的正方形图像。如果在图像后面将其补成的正方形图像，则就改NNNN 变了图像的属性,所以从前面的正方形图像中截取一部分图像将NN 的图像补成的正方形图像。这样就可以运用 Arnold 变换对第()MNNNN 二部分图像进行置乱,从而达到全局置乱的效果。 （见图 1.4） 。 2、当时，将图像划分成和的两部分图像（见图 M N 2NN()MNN
25、1.5） 。同样第一部分可以直接运用 Arnold 变换,第二部分则为上述 1 的情形， 那么可以用上述 1 的方法对图像进行置乱（见图 1.6） 。我们发现图像置乱后有 明显的区域性。这是由于第一部分的点在置乱后还在第一部分，不会出现在第 二部分。同理，第二部分的点在置乱后也还在第二部分中而不可能出现在第一 部分中。为了使得的图像在置乱后没有区域性，现把第一部分置乱后的MN 一些点放在第二部分进行置乱。这样的非等长图像以第二部分和前一部MN 分有一定的重合区域的方式进行划分，直到把的非等长图像置乱完全为MN 止（见图 1.7） 。 图 1.2 图 1.3 图 1.4 图 1.5 图 1.6
26、图 1.7 3、当时，为了将的非等长图像进行全局置乱且没有区域性， M N 2MN 就按照上述 2 的方法，先从短边的始端划分一个的正方形图像运用NN Arnold 变换将图像置乱，接着从第二部分开始每部分将和前一部分有一定的重 合区域的方式进行划分，依次运用 Arnold 变换讲话份额正方形图像置乱，直到 把的非等长图像置乱完全为止（见图 1.8） 。MN N M-NN N M-NN N N M-NN N N N M-N N M-NN N N N N 图 1.8 用上述方法对图像进行划分,重合区域有很多种情况，即原图像可以划分出 正方形图像的个数不同。划分出的正方形个数越少，图像置乱所需时间
27、也就越 少。为使得图像划分成尽可能少的正方形,从而大量减少图像置乱所需要的时间， 当把非等长图像划分为个正方形图像时，置乱所需的时间是最少。1 M N 以短边 N 为边长的划分成个正方形图像。设每个正方形图像1 M N NN 之间重合长度为 X，则可列方程为： 1 MM MNX NN 其中表示的是不超过 M/N 的最大整数，表示进行 M N 1 M N N 正方形所需的长,表示一共所需的重合的长度。求得 1 M N M X N 。 ()MN XN M N 1.4.2 置乱恢复 二维 Arnold 变换的周期性是一个很好的性质,当反复应用 Arnold 变换时 ,在某一时刻就能恢复原图。但是对于
28、本文所提的方法有 无周期性还不知道 ,从而我们选择了另一种方法恢复非等长图像，即 Arnold 反变换。 非等长图形对于本文所提出的划分方法利用反变换进行恢复。根据反变换 对置乱后图像从较长边的末端开始划分正方形区域，将从反方向也就是若把 M N N N 的图像看作是的矩阵，则将从第列开始对图像进行划分，重合MNMNM 长度还是。逐一对每个正方形进行恢复。 ()MN N M N 刘芳在文献12中对反变换进行了阐述,其证明过程如下： 因，由矩阵的性质可知，A 可逆,1A 。 1 1 11 A 2 由公式(1)，根据矩阵运算的性质，我们来推测 Arnold 反变换的公式为 ,其中 mod 代表取余
29、数, 1 mod xx AN yy floor 表示向负无穷方向取整,a、b、c 为整mod( , ),( / )a bac b cfloor a b 数。 证明： 根据公式(1),Arnold 变换的等价形式可以写成: ()mod ()mod xxyN yxyN 2 这意味着,Z 为整数 1, k kZ 2 1 xxykN yxykN 2 2 则 111 1 ()1 11() xxykNxkkNx A yyxykNykkN 2 22 22 2 即 11 1 () modmod () xkkNx ANN yykkN 2 2 2 由上可知， 11 0,1,x yNkkZ kkZ 22 2 无论和
30、是正整数、负整数或是 0,都有 1 ()kk 2 2 1 ()kk 2 11 ()/)floor xkkNNkk 22 22 11 ()/)floorykkNNkk 22 即 1 11 1 11 mod(),) ()() mod(),) ()() xkkN N xkkNkkNx ykkN N ykkNkkNy 2 22 2 22 2 22 所以 1 mod xx AN yy 综上所述，Arnold 反变换的公式为： (5) 1 mod 11 xx N yy 2 ,0,1, ,x y 2,1N 第 2 章 仿真实验 2.1 算法的有效性实验 分别选取图像一为 150 200（jpg 图） 、图像
31、二为 150 400（jpg 图） 、图 像三为 400 250（jpg 图）进行实验,实验结果如图 2.1： 图 2.1 置 乱 次 数 原 始 图 像置 乱 1 次置 乱 2 次置 乱 3 次置 乱 4 次 图 像 一 图 像 二 图 像 三 通过实验可以看到图像的置乱刚开始具有区域性，但在多次置乱后区域性 将逐渐消失，置乱效果逐步达到最佳。通过选取三组不同高宽的矩形进行置 乱，发现图像一开始分为两部分置乱，图像二分为三部分置乱，图像三 分为两部 分置乱 ,且到最后都达到了不错的置乱效果。从而说明对于任 意高宽不等 的矩形 图像 ,都可通过 本文提出的 划分方法 将图像置乱。 2.2 置乱
32、恢复实验 选取图像一和图像二置乱后的图像进行 Arnold 反变换实验,实验结果如图 2.2： 图 2.2 置 乱 次 数 反 变 换 1 次反 变 换 2 次反 变 换 3 次反 变 换 4 次反 变 换 5 次 图 像 一 图 像 二 实验表明通过 Arnold 反变换从图像的较长边的末端开始恢复,可以回到原 图像,说明该算法具有可恢复性。 2.3 算法安全性实验 选取图像一置乱后的图像，使用错的重合度对图像恢复，实验结果如图 2.3： 图 2.3 置 乱 次 数 反 变 换 1 次反 变 换 2 次反 变 换 3 次反 变 换 4 次反 变 换 5 次 图 像 一 通过实验表明,在对图像
33、进行恢复时,若使用错误的重合度,那么图像将无法 恢复到原图像,从而说明该算法是安全的。 2.4 与现有算法一比较实验 选取图像一，利用扩展为正方形图像的算法和本文提出的划分算法分别对 图像一进行实验,实验结果如图 2.4： 图 2.4 置 乱 次 数 原 始 图 像置 乱 1 次置 乱 2 次置 乱 3 次 反变换到原图 像 扩 充 算 法 存 储 空 间 6.15KB10.0KB15.7KB19.4KB6.73KB 置 乱 次 数 原 始 图 像置 乱 1 次置 乱 2 次置 乱 3 次 反变换到原图 像 划 分 算 法 存 储 空 间 6.15KB10.6KB14.5KB15.5KB6.1
34、5KB 实验表明：用 Arnold 变换进行处理后的结果,我们发现将非等长图像进行 划分后，将图像置乱变换后比将非等长图像扩展为等长图像进行置乱后所占用 的存储空间要少得多,且置乱效果好，并且划分图像的算法并没有改变图像的属 性。 第 3 章 结束语 传统的二维 Arnold 变换图像置乱一般用于正方形图像置乱,而对于高宽不 等的矩形图像,需将其扩展为正方形图像进行置乱。对此问题,本文提出了一种 新颖的 2 维非等长图像置乱变换方法,将其按照短边N 为边长 ,以 ()MN XN M N 为重合度进行划分正方形，然后利用 Arnold 变换进行图像置乱，并运用 Arnold 反变换将其还原。同时
35、利用了数学思想中的方程思想进行了严谨 的推理。 实验表明了所提出的新的二维非等长 Arnold 变换算法可以将非等长 图像进行置乱并且恢复。该算法克服了将非等长图像扩展为等长图像后需要增 加存储空间的缺点,并且该算法的置乱效果比扩展为正方形图像算法的置乱效果 要好。下一步将讨论划分算法的周期性。 参考文献 1 丁玮，闫伟齐,等.基于 Arnold 变换的数字图像置乱技术J.计算机辅助 设计与图形学学报.2001.13(4):338-341 2 王冬梅.奇数阶幻方变换数字图像的准周期J.浙江工业大学学报.2005. 33（3）:292-294 3 丁玮,齐东旭.数字图像变换及信息隐蔽与伪装技术J
36、.计算机学报.1998. 21(9):838-843 4 林雪辉，蔡利栋.基于 Hilbert 曲线的数字图像置乱方法研究J.中国体视 学与图像分析.2004.9（4）:224-227 5 齐东旭.矩阵变换及其在图像信息隐蔽中的应用研究J.北方工业大学学 报.1999.11(1):24-28 6 丁玮,闫伟齐等.基于生命游戏的数字图像置乱与数字水印技术J.北方工 业大学学报.2000.12(1):1-5 7 邹建成,李国富等.广义 Gray 码及其在数字图像置乱中的应用J.高校应 用数学学报（A 辑）.2002.17(3):363-370 8 孔涛. Arnold 反变换的一种新算法J.软件学
37、报.2004.15（10）:1558- 1564 9 邵利平,覃征.二维非等长图像置乱变换J.电子学报.2007.35(7):1209- 1294 10 李永逵,冯乔生等.二维 Arnold 变换及非等长图像置乱变换J.计算机工 程与设计. 2009.30(13):3133-3135 11 齐东旭,邹建成等.一类新的置乱变换及其在图像信息隐藏中的应用.中国 科学(E 辑).2000.30(5):440-447 12 刘芳.一种新的 Arnold 反变换在数字水印中的应用J.全国图象图形学学 术会议.2006.7:1-6 谢 辞 经过两个月的努力，终于完成了我的毕业论文。在没有做毕业设计以前觉
38、得毕业设计只是对这几年来所学知识的单纯总结，但是通过这次做毕业设计发 现自己的看法有点太片面。毕业设计不仅是对前面所学知识的一种检验，而且 也是对自己能力的一种提高。通过这次毕业设计使我明白了自己原来知识还比 较欠缺。自己要学习的东西还太多，以前老是觉得自己什么东西都会，什么东 西都懂，有点眼高手低。通过这次毕业设计，我才明白学习是一个长期积累的 过程，在以后的工作、生活中都应该不断的学习，努力提高自己知识和综合素 质。 我的毕业论文的完成是在我的指导老师郭琳琴老师的帮助下完成的。 她从选题的确定、论文资料的收集、论文框架的确定、开题报告准备及论文初 稿与定稿中对字句的斟酌倾注的大量心血，郭琳
39、琴老师治学严谨，在论文写作 上对我认真指导、严格要求。在此对指导老师- 郭琳琴老师表示感谢！ 在这里，还要特别感谢大学四年学习期间给我诸多教诲和帮助的数学系的 各位老师，你们给予我的指导和教诲我将永远记在心里！师恩永铭，友情难忘。 感谢和我一起生活四年的室友，是你们让我们的寝室充满快乐与温馨，愿 我们以后的人生都可以充实、多彩与快乐！ 感谢我的兄弟姐妹们-我的同学和朋友们，他们给我提供了不少的参考资 料和相关建议。感谢答辩组老师们的辛勤劳动。 更要感谢我的父母，他们虽然不在我的身边，但四年来，他们无时无刻不 在关注着我一点一滴的成长。 附 录 Arnold变换的程序： a=imread(24.
40、jpg); ax=double(a); bx=zeros(200,200); for i=1:200 for j=1:200 ik=i+j; jk=i+2*j; ik=mod(ik,200); if ik=0 ik=200; end jk=mod(jk,200); if jk=0 jk=200; end bx(ik,jk)=ax(i,j); end end imshow(bx,); b=uint8(bx); imwrite(b,25.jpg); 图2.1程序： a=imread(2_3.jpg); tic; ax=double(a); cx=zeros(150,200); cx=ax(1:15
41、0,1:200); for h=1:50:51 dx=zeros(150,150); dx=cx(:,h:h+149); bx=zeros(150,150); for i=1:150 for j=1:150 ik=i+j; jk=i+2*j; ik=mod(ik,150); if ik=0 ik=150; end jk=mod(jk,150); if jk=0 jk=150; end bx(ik,jk)=dx(i,j); end end for i=1:150 for j=1:150 cx(i,j+h-1)=bx(i,j); end end end imshow(cx,); c=uint8(c
42、x); toc; imwrite(c,2_4.jpg); 图2.2反变换程序： a=imread(2_8.jpg); ax=double(a); cx=zeros(150,200); cx=ax(1:150,1:200); for h=200:-50:150 dx=zeros(150,150); dx=cx(:,h-149:h); bx=zeros(150,150); for i=1:150 for j=1:150 ik=2*i-j; jk=-i+j; ik=mod(ik,150); if ik=0 ik=150; end jk=mod(jk,150); if jk=0 jk=150; end bx(ik,jk)=dx(i,j); end end for i=1:150