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1、2015-2016学年北京市101中学高二（上）统练数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A9m25B8m25C16m25Dm82已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）ABCD3已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）A2B4C8D4直线y=kx+1（kR）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（）A（0，1）B（0，5）C1，5）（5，+）D（1+）5已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0
2、，1）B（0，C（0，）D，1）6已知F1（4，0），F2（4，0），又P（x，y）是曲线+=1上的点，则（）A|PF1|+|PF2|=10B|PF1|+|PF2|10C|PF1|+|PF2|10D|PF1|+|PF2|107过点A（11，2）作圆x2+y2+2x4y164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A16条B17条C32条D34条8设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）ABCD二、填空题共6小题9已知直线5x12y+a=0与圆x22x+y2=0相切，则a的值为10已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，
3、离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为11椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，F1PF2的大小为12已知P为椭圆+y2=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|的最大值是，|PF1|2+|PF2|2的最小值是13在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是14设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是三、解答题共3小题解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
4、程15已知圆C：x2+y24x6y+9=0（I）若点Q（x，y）在圆C上，求x+y的最大值与最小值；（II）已知过点P（3，2）的直线l与圆C相交于A、B两点，若P为线段AB中点，求直线l的方程16已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，其中左焦点F（2，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值17在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于（）求动点P的轨迹方程；（）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积
5、相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由2015-2016学年北京市101中学高二（上）统练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A9m25B8m25C16m25Dm8【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，m+925m0，解得8m25故选：B2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e【解
6、答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，a=2b，椭圆的离心率，故选D3已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）A2B4C8D【考点】椭圆的简单性质【分析】首先根据椭圆的定义求出MF2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2=8，由于MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，根据中位线定理得：|ON|=4，故选：B4直线y=kx+1（kR）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（）A（0，1）B（0，5）C1，5）（5，+）D（1+）【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】求出直线结果的定点，利用直线
7、与椭圆恒有公共点，列出不等式组求出m的范围【解答】解：由于直线y=kx+1恒过点M（0，1）要使直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点，则只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上从而有，解可得m1且m5故选：C5已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）【考点】椭圆的应用【分析】由=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半
8、径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：C6已知F1（4，0），F2（4，0），又P（x，y）是曲线+=1上的点，则（）A|PF1|+|PF2|=10B|PF1|+|PF2|10C|PF1|+|PF2|10D|PF1|+|PF2|10【考点】两点间的距离公式【分析】根据题意，曲线表示的图形是图形是如图所示的菱形ABCD，而满足|PF1|+|PF2|=10的点的轨迹恰好是以A、B、C、D为顶点的椭圆，由此结合椭圆的定义即可得到|PF1|+|PF2|10【解答】解：F1（4，0），F2（4，0），满足|PF1|+|PF2|=10的点在以F1、F2为焦点
9、，2a=10的椭圆上可得椭圆的方程为，曲线表示的图形是图形是以A（5，0），B（0，3），C（5，0），D（0，3）为顶点的菱形由图形可得菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线上的点P，必定满足|PF1|+|PF2|10故选：C7过点A（11，2）作圆x2+y2+2x4y164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A16条B17条C32条D34条【考点】直线与圆的位置关系【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y2）2=132，圆心（1，2），半径r=13过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分
10、别只有一条）还有长度为11，12，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+215=32条故选C8设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，F1PF2为等腰直角三角形|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D二、填空题共6小题9已知直线5x12y+a=0与圆x22x+y2=0相切，则a的值为18或8【考点】点到直线的距离
11、公式；圆的标准方程【分析】求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出a的值【解答】解：圆的方程可化为（x1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得，所以a的值为18或8故答案为：18；810已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为【考点】椭圆的标准方程【分析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为【解答】解：由题设知，2a=12，a=6，b=3，所求椭圆方程为答案：11椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2，F1PF2的大小为12
12、0【考点】椭圆的简单性质【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6|PF1|=2在F1PF2中，cosF1PF2=，F1PF2=120故答案为：2；12012已知P为椭圆+y2=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|的最大值是4，|PF1|2+|PF2|2的最小值是8【考点】椭圆的简单性质【分析】借助于椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，设|PF1|=m，|PF2|=n，利用基本不等式的性质即可|PF1|P
13、F2|的最大值利用PF1|PF2|的最大值，即可得到的|PF1|2+|PF2|2的最小值【解答】解：由题意：椭圆+y2=1，可得a=2，P时椭圆上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，设|PF1|=m，|PF2|=n，即m+n=2a=4，m+n，当且仅当m=n时取等号所以：mn4即|PF1|PF2|的最大值为4|PF1|2+|PF2|2的=m2+n22mn=8当且仅当m=n时取等号所以|PF1|2+|PF2|2的最小值8故答案为：4，813在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，
14、1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系【分析】由于圆C的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可【解答】解：圆C的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：14设F1，F2分别为椭圆+y2=1的焦
15、点，点A，B在椭圆上，若=5；则点A的坐标是（0，1）【考点】椭圆的简单性质【分析】作出直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点A的坐标【解答】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B又由椭圆的对称性，得设A（x1，y1），B（x2，y2）由于椭圆的a=，b=1，c=e=，F1（，0）|F1A|=|x1|，|F1B|=|x2|，从而有： |x1|=5|x2|，由于x1，x2，x10，x20，即=5=5 又三点A，F1，B共线，（，y10）=5（x2，0y2）由+得：x1=0代入椭圆的方程得
16、：y1=1，点A的坐标为（0，1）或（0，1） 方法2：因为F1，F2分别为椭圆的焦点，则，设A，B的坐标分别为A（xA，yA），B（xB，yB），若；则，所以，因为A，B在椭圆上，所以，代入解得或，故A（0，1）方法三、由e=|，=5，e=，cos=，sin=，k=tan=，由，即可得到A（0，1）故答案为：（0，1）三、解答题共3小题解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15已知圆C：x2+y24x6y+9=0（I）若点Q（x，y）在圆C上，求x+y的最大值与最小值；（II）已知过点P（3，2）的直线l与圆C相交于A、B两点，若P为线段AB中点，求直线l的方程【考点】点到直线的距离公式；直
17、线与圆相交的性质【分析】（I） 设 x+y=d，d取最值时，圆和直线 x+y=d相切，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径求得d 值，即为所求 （II） 由题意得 CPAB，由 kCP=1，可得 kAB=1，点斜式可求直线l的方程【解答】解：圆C：（x2）2+（y3）2=4，圆心C（2，3），半径r=2，（I）设 x+y=d，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径得 ，x+y最大值为，最小值（II）依题意知点P在圆C内，若P为线段AB中点时，则CPAB，kCP=1，kAB=1，由点斜式得到直线l的方程：y2=x3，即 xy1=016已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，其中左焦点F（
18、2，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆C的方程（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由消y得，3x2+4mx+2m28=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值【解答】解：（1）由题意，得解得椭圆C的方程为（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由消y得，3x2+4mx+2m28=0，=968m20，2m2=，点M（x0，y0）在
19、圆x2+y2=1上，17在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于（）求动点P的轨迹方程；（）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式【分析】（）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得【解答】解：（）因为点B与A（1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，1）设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x1）故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x1）（）解：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则因为sinAPB=sinMPN，所以所以=即（3x0）2=|x021|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为（）2016年11月16日