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1、6.2 二次型化为标准型,一、正交变换化二次型为标准形,二、拉格朗日配方法的具体步骤,1,苍松优选,一、正交变换化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,说明,Page 2,苍松优选,Page 3,苍松优选,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,Page 4,苍松优选,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例1,Page 5,苍松优选,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,Page 6,苍松优选,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,Page 7,苍松优选,于是所求正交变换为,Page 8,苍松优选,二、拉格朗日配方法
2、的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,问题有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,Page 9,苍松优选,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,Page 10,苍松优选,解,例2,Page 11,苍松优选,Page 12,苍松优选,所用变换矩阵为,Page 13,苍松优选,解,例3,由于所给二次型中无平方项，所以,Page 14,苍松优选,再配方，得,Page 15,苍松优选,所用变换矩阵为,Page 16,苍松优选,