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1、响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第八编 立体几何 主备人 张灵芝 总第35期8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测1.下列不正确的命题的序号是 .有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案 2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 .答案 603.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是 cm2. 答案 (20+4) 4.（2008宁
2、夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 .答案 5.已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的直观图ABC的面积为 .答案 a2例题精讲 例1 下列结论不正确的是 （填序号）.各个面都是三角形的几何体是三棱锥以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 解析 错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.
3、错误.如下图，若ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. 正确.例2 已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.解 建立如图所示的xOy坐标系，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的高，把y轴绕原点顺时针旋转45得y轴，则点C变为点C，且OC=2OC，A、B点即为A、 B点，AB=AB，已知AB=AC=a，在OAC中，由正弦定理得=，所以OC=,所以原三角形ABC的高OC=a，所以SABC=aa=
4、2.例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA=BB=CC=4cm,正三角形ABC和正三角形ABC的高为2cm.正三角形ABC的边长为|AB|=4.该三棱柱的表面积为S=344+242sin60=48+8(cm2).体积为V=S底|AA|=42sin604=16(cm3).故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2,体积为16cm3.例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示， 求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解 如图所示，ABE为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2=,BF
5、=BE=,AF=,ABE的面积为S=BEAF=.所求的三角形的面积为.巩固练习 1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 （填序号）.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案 2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .答案 2a23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等
6、腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解 （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点. 该几何体的体积V=864=64.（2）如图所示，侧面VAB中，VEAB，则VE=5SVAB=ABVE=85=20侧面VBC中，VFBC，则VF=4.SVBC=BCVF=64=12该几何体的侧面积S=2（SVAB+SVBC）=40+24.4.（2007全国文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案
7、2+4回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.利用斜二测画法可以得到：三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是正方形，菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 .答案 2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 .长方体；圆锥；三棱锥；圆柱.答案 3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .答案 4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为 .答案 55.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点
8、，则直线EF被球O截得的线段长为 .答案 6.（2008湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 .答案 7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.答案 9 148.如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上） 答案 二、解答题9.正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的
9、中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.A1B1=4 cm，AB=16 cm， O1E1=2 cm，OE=8 cm，O1B1=2 cm，OB=8 cm，B1B2=O1O2+（OB-O1B1)2=361 cm2，E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2=325 cm2，B1B=19 cm，E1E=5cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆
10、台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S，在RtSOA中，ASO=45, 则SAO=45，SO=AO=3x，OO1=2x，又S轴截面=（6x+2x）2x=392，x=7.故圆台的高OO1=14 (cm)，母线长l=O1O=14 (cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解 如图所示，正棱锥S-ABCD中高OS=，侧棱SA=SB=SC=SD=，在RtSOA中， OA=2，AC=4.AB=BC=CD=DA=2.作OEAB于E，则E为AB中点.连接SE，则SE即为斜高，则SOOE.在RtSOE中，OE=BC=，SO=，SE=，即侧面上的斜高为.12. 如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解 这个几何体不是棱柱；在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE=2；在BB1上取F使BF=2；连接C1E，EF，C1F，则过C1EF的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABCEFC1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1EA1B1F.