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1、全等三角形复习,一.全等三角形：,1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？,2：全等三角形有哪些性质？,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,3:一般三角形 全等的条件：,1.SSS；,2.SAS；,3.ASA；,4.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,边边边(SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等 边角边(SA
2、S) :两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等 角边角(ASA) :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边(AAS) :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边.直角边(HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的
3、夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),练习,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法： QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法： QDOA,QEOB, 点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.角的平分线： 1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,例1、如图，ABC与全等吗？为什么？,解：在和中 （已知） （已知） （公共边） ABC（SSS）,三.例题精析 ：,变式、如图4，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由。,解：ABFDCE （已知） + （等式性质） 在ABF和DCE中 （已知） （已知） （已证）
4、ABFDCE（SSS）,图4,例2、如图，、相交于点，是的中点，那么与相等吗？说明你的理由。,解：是的中点（已知） （中点定义） （已知） （两直线平行内错角相等） 在AOC和中 （已证） （已证） （对顶角相等） AOC（ASA） （全等三角形对应边相等）,例3：如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。,答： ABCDEF,证明：,例4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？,例5：如图，已知E在AB上，1
5、=2，3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,例6.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,例7.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGF
6、M,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,例8：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。,已知：如图，AD是ABC 的中线，求证：,E,证明：,延长AD到E，使DEAD，连结BE, AD是ABC 的中线,BDCD,又 DEAD, ADC EDB, AC = EB,在ABE中，AE AB+BEAB+AC,即 2AD AB+AC,1、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。,12,c,A,B,D,E,四.练习,2、如图，则AEC等于（）,、 、,解：答案选（）,
7、3：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知： EGAF 求证：,高,4.如图1：ABF CDE，B=30， BAE= DCF=20 .求EFC的度数.,5 、如图2，已知：AD平分BAC，AB=AC，连接BD，CD，并延长相交AC、AB于F、E点则图形中有（ ）对全等三角形. A、2B、3C4D、5,C,图1,图2,（800）,6、如图3，已知：ABC中，DF=FE，BD=CE，AFBC于F，则此图中全等三角形共有（ ） A、5对B、4对C、3对D2对 7、如图4，已知：
8、在ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，DE=DC，延长BE交AC于F， 求证：BF是ABC中边上的高.,提示：关键证明ADCBFC,B,8、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：E=F.,提示：由条件易证ABCCDA 从而得知BACDCA ，即：ABCD.,9、如图6，已知：A90， AB=BD，EDBC于 D. 求证：AEED,提示：找两个全等三角形，需连结BE.,图6,五、拓展题,1.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF,2.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过
9、点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） 2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1） ；（2） ；,4.如图，在RABC中，ACB
10、=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,5.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 求证： ADG 为等腰直角三角形。,6.已知：如图21，ADBAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；,（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,