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概率论与数理统计 满分100分一、计算题（每题10分，共70分）1设，试求的概率密度为。解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的概率密度具有如下形式：进而，将 代入上述表达式可得所求的概率密度为：2随机变量的密度函数为，其中为正的常数，试求。解： 依题意可得：则：因为A0 所以 A=13设随机变量服从二项分布，即，且，试求。解：可以如下求解：=3,=214已知一元线性回归直线方程为，且，试求。解：由题意得 故 5设随机变量与相互独立，且，求。解：因为随机变量与相互独立，则：D(X-4Y)=D(X)-D(4Y)=D(X)-16D(Y)=3-164=-616设总体的概率密度为 式中1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。解：似然函数为似然方程为解得.即为最大似然估计值。7、设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。解：二、证明题（每题15分，共30分）1若事件与相互独立，则与也相互独立。证明：P(B）P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A)P(B)=P()P(B)所以与B独立2若事件，则。证明：，由于事件，所以，。从而