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1、试卷类型：A 广州市2013届高三年级调研测试 数 学（理 科） 2013.1 本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要
2、求作答的答案无效.4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，则复数ii对应的点位于A第一象限B 第二象限C第三象限 D第四象限2已知集合，集合，则 A B C D3已知函数, 则的值是 A B C D 4.设向量，则“”是“/”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的解析式是 A
3、B C D6已知四棱锥的三视图如图1所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是A B C D7在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 A B C D 8在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是A BC D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分开始输出结束图2是否（一）必做题（913题）9. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为 .10.若的展开式的常数项为84，则的值为 .11.若直线是曲线的切线，则实数的值为 . 12.圆上到直线的距离为的点的个数是 _ .13.图2是一个算法的流程图，则输出的值是 .（二）选做题
4、（1415题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题） 如图3，已知是的一条弦，点为上一点，交于，若，则的长是 15（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分） 已知的内角的对边分别是,且.(1) 求的值； (2) 求的值. 17.（本小题满分12分）某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学 人数 为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方
5、法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.（1）问四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，点是的中点，点是的中点,连接,.(1) 求证：面；（2）若,，求二面角的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，与交于点.(1) 求点的轨迹方程；(2) 求四边形的面积的最小值. 图520.（本小题满分1
6、4分） 在数和之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记为,令,N.(1)求数列的前项和；(2)求.21.（本小题满分14分）若函数对任意的实数，均有，则称函数是区间上的“平缓函数”. (1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设, 求证： .广州市2013届高三年级调研测试 数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题1. A分析：，其对应的点为，位于第一象限2. D分析：，3. B分析：，4. A分析：当时，有，解得； 所以，但，故“”是“”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将的图象向左平移个单位即得的图象，即
7、6. C分析：三棱锥如图所示， ， ，7. B分析：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有 ，即，化简得，又，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故8. C分析：由题意得，故不等式化为， 化简得， 故原题等价于在上恒成立，由二次函数图象，其对称轴为，讨论得 或 ，解得 或 ，综上可得二、填空题9.分析：方法一、（基本量法）由得，即 ，化简得，故方法二、等差数列中由可将化为，即，故10.分析：，令，得其常数项为，即，解得11.分析：设切点为 ，由得，故切线方程为，整理得，与比较得，解得，故12. 分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式
8、得圆心到直线的距离，由右图所示，圆上到直线的距离为的点有4个13.分析：由题意， ， ， ；以上共503行，输出的 14.分析：如图，因为 ，所以是弦中点，由相交弦定理知， 即，故15. 分析：圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，圆心到直线的距离，故圆截直线所得的弦长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:,依据正弦定理得:, 1分即,解得. 3
9、分(2)解:， . 4分 . 5分, 6分 . 7分,. 8分 9分 10分 . 12分17（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为. 应从四所中学抽取的学生人数分别为. 4分（2）解：设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种， 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有CCC
10、C. 6分.答：从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为. 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自两所中学的学生人数分别为. 依题意得，的可能取值为， 8分 ， ，. 11分 的分布列为： 12分 18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取的中点，连接， 点是的中点, . 1分 点是的中点，底面是正方形， . 2分 . 四边形是平行四边形. . 3分 平面，平面， 面. 4分证法2：连接并延长交的延长线于点，连接
11、， 点是的中点， , 1分 点是的中点. 2分点是的中点, . 3分 面，平面， 面. 4分证法3：取的中点，连接， 点是的中点，点是的中点, ，. 面，平面， 面. 1分 面，平面， 面. 2分 ，平面，平面， 平面面. 3分 平面， 面. 4分（2）解法1：，面， 面. 5分 面， . 6分 过作，垂足为，连接， ，面，面， 面. 7分 面， . 8分 是二面角的平面角. 9分 在Rt中，,，得， 10分 在Rt中，得， . 11分 在Rt中， 12分 . 13分 二面角的余弦值为. 14分解法2：，面， 面.在Rt中，,，得， 5分以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建
12、立空间直角坐标系， 6分则.，. 8分设平面的法向量为，由，得令，得，.是平面的一个法向量. 11分又是平面的一个法向量， 12分. 13分二面角的余弦值为. 14分19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设， ， 是线段的中点. 2分 ， 3分 . 4分 ， . . 5分 依题意知， . 6分把、代入得：，即. 7分点的轨迹方程为. 8分 (2)解：依题意得四边形是矩形， 四边形的面积为 9分 . 11分，当且仅当时，等号成立， 12
13、分. 13分四边形的面积的最小值为. 14分解法二:(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为, 由于,则直线的斜率为. 1分 故直线的方程为,直线的方程为. 由 消去,得. 解得或. 2分 点的坐标为. 3分 同理得点的坐标为. 4分 ， 是线段的中点. 5分 设点的坐标为, 则 6分 消去,得. 7分点的轨迹方程为. 8分(2)解：依题意得四边形是矩形， 四边形的面积为 9分 10分 11分 . 12分当且仅当,即时,等号成立. 13分四边形的面积的最小值为. 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特
14、殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）(1)解法1:设构成等比数列,其中,依题意, 1分 , 2分由于, 3分得. 4分,. 5分, 6分数列是首项为,公比为的等比数列. 7分. 8分解法2: 设构成等比数列,其中,公比为, 则,即. 1分 依题意,得 2分 3分 4分 . 5分, 6分数列是首项为,公比为的等比数列. 7分. 8分(2)解: 由(1)得, 9分, 10分,N. 11分 . 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：是R上的“平缓函数”，但不是区间R的“平缓函数”；设，则,则是实数集R上的增函数，不妨设，则，即， 则. 1分又也是R上的增函数，则， 即， 2分由、得 . 因此,，对都成立. 3分当时，同理有成立又当时，不等式，故对任意的实数，R,均有.因此 是R上的“平缓函数”. 5分由于 6分取，则， 7分因此， 不是区间R的“平缓函数”. 8分（2）证明:由（1）得：是R上的“平缓函数”，则， 所以 . 9分而， . 10分, 11分. 12分 13分 . 14分