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1、,栏目索引,高考真题体验,(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点 (1)求a的取值范围；,解析答案,解 f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a) 设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点 设a0，则当x(，1)时，f(x)0， 所以f(x)在(，1)上单调递减， 在(1，)上单调递增,解析答案,设a0，由f(x)0得x1或xln(2a),因此f(x)在(1，)上单调递增 又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点,当x(ln(2a)，)时，f(x)0， 因此f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增
2、又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点 综上，a的取值范围为(0，),(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.,解 不妨设x1f(2x2)，即f(2x2)0.,由于,而,所以,设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex)， 所以当x1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.,解析答案,考情考向分析,返回,利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.,热点一 利用导数证明不等式,热点分类突破,用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性
3、或求函数的最值，以及构造函数解题的能力,(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；,解 因为f(x)ln(1x)ln(1x)，,又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.,解析答案,因为g(x)0(0g(0)0，x(0,1)，,解析答案,解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,综上可知，k的最大值为2.,思维升华,思维升华,用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论 (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内
4、有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m) (3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.,跟踪演练1 已知函数f(x)aln x1(a0),令(x)0，则x1，当01时，(x)0，所以(x)在(1，)上单调递增， 故(x)在x1处取到极小值也是最小值，故(x)(1)0，,解析答案,(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的取值范围,故h(x)在区间(1，e)上单调递增，所以h(x)h(1)0. 因为h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在区间(1，e)上单调递增，,所以a的取值范围为e1，),解析答案,热点二 利用导数讨论方程
5、根的个数,方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解,(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；,当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，,f(x)的极小值为2.,解析答案,解析答案,思维升华,则(x)x21(x1)(x1)， 当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增； 当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减 x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x1也是(x)的最大值点，,解析答案,思维升华,又(0)0，
6、结合y(x)的图象(如图)，可知,当m0时，函数g(x)有且只有一个零点,思维升华,思维升华,(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题 (2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势,跟踪演练2 已知函数f(x)2ln xx2ax(aR) (1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；,解 当a2时，f(x)2ln xx22x，,切线的斜率kf(1)2， 则切线方程为y12(x1)， 即2xy10.,解析答案,解析答案,解 g(x)2ln xx2m，,故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.,解析答案,热点三 利用
7、导数解决生活中的优化问题,生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优,例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率) (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；,解析答案,解 因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的
8、总成本为160r2元 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元 又根据题意得200rh160r212 000，,(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去) 当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；,由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8. 即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大,解析答案,思维升华,思维升华,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x) (2)求
9、导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值 (4)作答：回归实际问题作答,(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？,所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升,解析答案,(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,解析答案,返回,设耗油量为h(x)升，,令h(x)0得x80， 当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，,解析答案,当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25， 因为h(x)在(0
10、,120)上只有一个极值，所以它是最小值 故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.,返回,押题依据,高考押题精练,(1)当a0时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间；,押题依据 有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力,返回,解析答案,解析答案,当2a11，即a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增； 当2a11，即a0时，函数f(x)在(1,2a1)上单调递减， 在(0,1)，(2a1，)上单调递增,解析答案,即函数g(x)在1,2上为增函数，,解析答案,即x3(2a2)x2(2a1)x0，,由于x1,2，2x2x20，,即x37x26x0对任意的x1,2恒成立 令h(x)x37x26x，x1,2， 则h(x)3x214x60恒成立，,解析答案,故函数h(x)在区间1,2上是减函数， 所以h(x)minh(2)8，只要80即可，即8， 故实数的取值范围是8，),返回,