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1、第五节 实对称矩阵的 相似对角化,定理1实对称矩阵的特征值为实数.(证明略）,5.1 对称矩阵特征值与特征向量的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,定理1的意义,注: n阶方阵A为实对称阵的充分必要条 件是A有n个彼此正交的实特征向量.,5.2 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：(教材P145),2.,1.,解,例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位
2、化,于是得正交阵,练习:教材P147 例2,例2 设矩阵,解 由,使B与相似,并求k为何值时,B为奇异矩阵.,令矩阵B(kE+A)2,其中k为实数,为E单位矩阵,求对角矩阵,记对角矩阵,可得A的特征值为122，30.,因为A为实对称矩阵,故B也是实对称矩阵存在 正交阵P,使得P-1AP=.,故B的特征值为 k2 ,(k+2)2,由此可得,显然B与A相似,且k=0或 k = 2时,B为奇异矩阵.,例3 设3阶实对称矩阵A的特征值为1=0,2=1(二重)， A的属于1的特征向量为1=(0,1,1)T，求A.习P133 16题,解:,由于3阶实对称必可对角化,对于二重特征值21,的线性无关的特征向量应有两个, 设为2,3 , 则2,3 与1正交.,设与1正交的向量为(x1,x2,x3)T,则,解此方程组得基础解系,由于 与 正交，所以只需将1,2,3单位化.,令矩阵,则P为正交矩阵，且P-1AP=,所以,=,=,1.对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)最后单位化,思考题,思考题解答,