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1、3 方阵相似于对角矩阵的条件,一、相似矩阵的概念,定义3.1.设A、B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使,则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似.,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.记作AB.,称为对A进行相似变换,二 、相似矩阵的性质,相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有以下性质:,性质1 相似矩阵具有,1) 反身性 :任意方阵A,都有AA；,2) 对称性 :若AB,则B A；,3) 传递性:若AB,BC,则 A C。,性质2 若AB，则R(A)=R(B ).,性质3 若AB，则|A|=|B |.即A、B同时可逆或同时不可逆。,性质4 若AB，则ATBT.,性质5 若可逆矩阵AB，则B也
2、可逆，且A-1B-1.,性质6 若AB,则对于任意的多项式f(),必有 f(A) f(B).,性质7 若AB,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的 特征值相同（从而迹相同）.,值得注意的是，特征多项式相同的矩阵未必相似. 例如,显然A与E的特征多项式都是(-1)2,但可以证 明它们并不相似.因为与E的矩阵只有它自身。,性质8 若n阶矩阵A与对角矩阵,相似,则1，2，, n是A的n个特征值.,定理3.1 n阶方阵A与对角矩阵相似 (A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,三、相似矩阵的定理,定理3.4 如果n阶矩阵A(在数域F上)存在n个互 异特征值,则A必可(在数域F上)相
3、似于对角矩阵.,补充 n阶方阵A与对角矩阵相似 的充分必要条件是A的每个k重特征值 的特征矩阵A- E的秩为 n-k.,下面我们举例说明,对于可以相似对角化的方阵,其高次幂的计算可以得到简化.,例3.1 已知,计算A100,解,A有两个互异的特征值。,1=1, 2=4.故A可相似对角化.分别求得A对应于1, 2,的特征,向量1, 2为,（书P132）,令,则应有,由A=PP-1可得,类推可得,经计算可得,于是,例3.2 求一可逆矩阵P,把,化成对角矩阵.,解 由|AE|=0,求A的全部特征值.,当1=-1时，解方程(A+E)x=0,由于,得基础解系,当2= 3= 2时，解方程(A-2E)x=0
4、,由,把P1，P2，P3拼成矩阵P，即,得基础解系为,故,例3.3 设矩阵A与B相似,其中,（1）求x和y的值,（同型题：习题课教程P132第11题）,解 (1)因为AB,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有,(2) 由于AB,所以A的特征值为,得基础解系:,当1=-1时，由,得基础解系:,当2 2时，,得基础解系:,当3 -2时，,令可逆矩阵,即为所求.,问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵，并求出 P和相应的对角阵。,解 由,例3.4 设矩阵,对于1= 2=-1时，有,得A的特征值为： 1= 2=-1， 3=1.,对于3=1时，有,当k = 0 时,上式变为,对应特
5、征向量可取为:,因此,当 k = 0 时,令,对应特征向量可取为:,从上面的讨论和例题可知, A有n个单特征值,则A必可对角化,而当 A有重特征值时, 就不一定有n 个线性无关的特征向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲例2.3的二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量 ,所以该方阵不能对角化. 而在本节例1中A也有二重特征值,但却能找到 3个线性无关特征向量.所以例1中A能对角化.例3的讨论也说明不是所有方阵都能对角化.,一个方阵具体什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题,我们对此不作一般性的讨论,而仅讨论当 A为实对称矩阵的情形.,小结,相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵,3矩阵可对角化的条件,（2）可逆的相似变换矩阵的构成就是n个线性无 关的特征向量。,4矩阵对角化的过程,（1）计算特征根和特征向量，看是否有n个线性 无关的特征向量。,（3）对角阵的对角线的元素构成为n个线性无关 的特征向量对应的特征值。,