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1、,1.4因式分解,下列变形中，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由。,（1）x2-2x+2=(x+1)(x+3)+5 (2)6x3y2=3xy2x2y (3)(2a-b)(a-b)=2a2-3ab+b2 (4)5(y-x)2+3(x-y)=(x-y)(5x-5y+3),把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。,（一）因式分解的定义：,基本概念,即：一个多项式 几个整式的积,练习题： 一个多项式分解因式的结果为（x+3)(x+4),则这个多项式为（ ）,x2 7 x 12,（二）因式分解的方法：,（1）、提取公因式法,（2）、运用公式法,如果多项式的各项有公因式，可以把这个
2、公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。,练习题： 分解因式 2.p（yx）q（yx）,（1）、提取公因式法：,解： p（yx）q（yx） = （yx）（ p q）,即： ma + mb + mc = m（a+b+c）,1 . 3X2 9x= _,3x(x-3),3.一般步骤 （1）确定应提取的公因式； （2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式。,提公因式法：,1.公因式确定,（1）系数：取各系数的最大公约数； （2）字母：取各项相同的字母； （3）相同字母的指数：取最低指数。,2.变形规律：,（1）x-y=
3、-(y-x) (2) -x-y=-(x+y) (3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3,练习题：,.分解因式: ax2y+axy2,=axy(x+y),（2）运用公式法：,如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做公式法。, a2b2（ab）（ab） 平方差公式 练习, a2 2ab b2 （ab）2 完全平方和公式 练习 a2 2ab+ b2 （ab）2 完全平方差公式 ,公式法中主要使用的公式有如下几个：,用平方差公式分解因式的关键：多项式是否能看成两个数的平方的差； 用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项式
4、是否为一个完全平方式； 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2,公式法,练习题： 分解因式 x2（2y）2,a2b2（ab）（ab） 平方差公式 ,解： x2（2y）2 =（x2y）（x2y）,练习题： 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A、x2x2y2 B、 x2 4x4 C、x24xyy2 D、 y2 4xy4 x2, a2 2ab b2 （ab）2 a2 2ab+ b2 （ab）2,D,因式分解的一般步骤：,一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；,二套：再看有几项， 如
5、两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；,三查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。,一般步骤,第二步第二环节,1.分解因式:m2 n2 + 2m - 2n (北京市),=( m + n )( m n )+2( m n ),=( m - n )( m + n +2),2.分解因式: x3 xy2 ( 沈阳市),解:,原式= x ( x2 y2 ),= x ( x + y )( x y ),分解因式:(4x2+1)2 16x2,(4x2+1)2 16x2,=(4x2+1+4x)(4x2+1-4x),=(2x+1)2(2x-1)2,=(
6、4x2+4x+1)(4x2-4x+1),.将 x xy2 分解因式_,x xy2=x(1-y2) =x(1+y)(1-y),x(1+y)(1-y),=3(m+n)2- (m-n)2,=3(m+n)+ (m-n)3(m+n)- (m-n),=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n),9（m+n)2-(m-n)2,=(4m+2n)(2m+4n),=4(2m+n)(m+2n),(广西),简化计算,主要应用,多项式的除法,解方程,简化计算,(1)562+5644 (2)1012 - 992,变式 若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_；,超级变变变,解方程：,x-9x=0,变式,解下列方程
7、： (3x- 4) - (3x+ 4) =48,变式： 20052+2005能被2006整除吗？,第三步,求证：对于正整数n，2n+4-2n能被30整除.,解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n =1522n-1=302n-1. n为正整数时，2n-1为整数， 2n+4-2n能被30整除.,典型例题解析,大,已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2 -c2 2bc 的正负性。（提示： a2-b2 -c2 2bc = a2-（b2+c2 +2bc ）,比,若5 x2 4 xy y2 2x 1=0，求x、y的值。,如果 x2+x-1=0, 那么代数式 x3+2
8、x2 -7的值为( ),x2+x-1=0得x2=1-x, 则x3+2x2-7=x(1-x)+2(1-x)-7 =x-x2+2-2x-7=-x2-x-5 =-(x2+x)-5=-(x2+x-1)-6 =-6,解:,A. 6 B. 8 C. -6 D. -8,C,(福州市),(厦门市),已知: a+b =m , ab = -4, 化简:(a-2)(b-2)的结果是( ) A. 6 ; B. 2m-8 ; C. 2m , D.-2m,D,(厦门市),(a-2)(b-2),=ab-2a-2b+4,=ab-2(a+b)+4,=-4-2m+4,=-2m,已知 2n+2-n=k(n为正整数), 则4n+4-
9、n=_(用含k的代数式示).,(烟台市),K2 -2,4n+4-n=(2n)2+(2-n)2 = (2n+2-n)2 -2n2-n = k2 - 2,在多项式4x2+1中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是_ (只写一个即可),在日常生活中取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式 x4 x4 , 因式分解的结果是(x y)(x+y)(x2+y2), 若取x=9 ,y=9时,则各个因式的值是: (x-y)=0 , (x+y) =18 , (x2+y2) =162, 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码, 对于多项式 4x3 xy2 , 取x =10 , y = 10 时, 用上述方法产生的密码是:_,101030 ;,(写一个即可) (浙江),或103010 ;,或301010,4x3 xy2 = x (2x-y)(2x+y),x=10 , 2x-y =10 , 2x+y =30,因式分解应进行到底. 如：分解因式：x4-4=(x2+2)(x2-2) =(x2+2)(x+ )(x- ). 应在实数范围内将它分解到底.,方法小结：,畅所欲言,通过复习这节课你有那些新的收获与感受? 说出来与大家一起分享！,