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1、第二讲 线段和差最值问题 引例：如图，有一圆形透明玻璃容器，高 15cm，底面周长为 24cm，在容器内壁 柜上边缘 4cm 的 A 处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了 3cm 的 B 处时（B 处与 A 处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？ 它至少要爬多少路？（厚度忽略不计） 专题精讲：专题精讲： 最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小 值”时，大都应用这一模型 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值” 时，大都应用这一
2、模型 典型例题剖析典型例题剖析: 一归入一归入“两点之间的连线中，线段最短两点之间的连线中，线段最短” “饮马饮马”几何模型：几何模型： 条件：如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P， 使 PAPB 的值最小 l B A 模型应用：模型应用： 1如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点则 PB+PE 的最小值是 2如图，在锐角ABC 中，AB42，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 3如图，在直角梯形 ABCD 中，ABC90， AD
3、BC，AD4，AB5，BC6，点 P 是 AB 上一个动点，当 PCPD 的和最小 时，PB 的长为_ 课堂笔记 4如图，等腰梯形 ABCD 中，ABADCD1，ABC60，P 是上底，下底中 点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 5已知A(2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PAPB长度最小，则最小值为 台球两次碰壁模型台球两次碰壁模型 已知点 A 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点，使 PA+PQ+QA 周长最短. 变式：变式：已知点 A、B 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、n 分别上求点 D、E 点， 使得围成的四边形 ADEB 周长
4、最短. 模型应用：模型应用： 1如图，AOB=45，P 是AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的 动点，求PQR 周长的最小值 2如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1） 设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使 四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m_，n _（不必写解答过程） ；若不存在，请说明理由 已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间 长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小(原理用平移知识原理用平移知识 解解) 1、关于运
5、动轨迹水平移动 （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧： 2、关于运动轨迹垂直移动 如图所示有两个村庄 A 和 B 被一条河隔开，现要架一座桥（桥与河岸垂直），请你 设计一种方案，使由 A 到 B 的路程最短。 实战演练：实战演练： 1如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1） 若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a _时，四边形ABDC的 周长最短 2如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别 在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当C
6、DE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求 点E、F的坐标 二二求两线段差的最大值问题求两线段差的最大值问题( (运用三角形两边之差小于第三边) ) 几何模型：几何模型：在一条直线m上，求一点P，使PAPB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： （2）点A、B在直线m异侧： 好题赏析好题赏析 原型：原型：已知：P是边长为 1 的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值 巩固强化：（2010宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M 为对角线BD（不含B点）上任意 一点，将BM绕点B逆时针旋转 60得到
7、BN，连接EN、AM、CM （1）求证：AMBENB； （2）当M点在何处时，AMCM的值最小； 当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； （3）当AMBMCM的最小值为1 时，求正方形的边长 3 变式：变式：如图四边形ABCD是菱形，且ABC60，ABE是等边三角形，M为对角线 BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转 60得到BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（） 若菱形ABCD的边长为 1，则AMCM的最小值 1； AMBENB； S四边形AMBE=S四边形ADCM；连接AN，则ANBE； 当AMBMCM的最小值为 2时，菱形ABCD的边长为 2 3 ABCD