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1、倒数法与分式方程例题精讲倒数法【例1】 已知：，求的值.【解析】 ，【巩固】 已知：，求的值.【解析】 ，即，【巩固】 已知为实数，且，则=_【解析】 【例2】 设，求的值.【解析】 ，所以【巩固】 若，求的值.【解析】 ，分析可得，则，则，【例3】 (05山东潍坊中考)若，求的值.【解析】 由可知，故.【巩固】 本类题有一种典型错题，如：已知，求的值.【解析】 事实上：若，易得，故显然不成立.【补充】（“希望杯”试题）若，则=_【解析】 解析：由，故【例4】 (湖北黄冈市初级数学竞赛)设，其中，则 【解析】 ，于是，即，【补充】设，求的值.【解析】 由条件知，因而，即，【例5】 已知：，求；
2、的值.【解析】 ，即，【巩固】 已知：，求的值.【解析】 由，可知，得，即【巩固】 已知：，求的值.【解析】 ，【补充】若，则_【解析】 由，故原式【例6】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知：，且，求的值.【解析】 由条件知：，又，即，解得【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知，且，求.【解析】 由已知可得，解得【例7】 已知是的根，求的值.【解析】 因为是的根，所以所以利用条件的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.【巩固】 (广西竞赛题)已知：，求【解析】利用条件的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.【补充】已知，求的值.【解析】，故 板块四 分式方程【例8】 下列方程中哪些
3、是分式方程？ 【解析】 思路与技巧 分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数.其中分式方程有、点评：判断分式方程关键要看分母中是否有未知数.中没有分母，是整式方程；中虽然有分母，但分母中不含未知数，所以仍为整式方程；是整式方程，分母中不含未知数；不是方程，所以也不是分式方程；不是分式方程，虽然分母中有字母，但不是未知数，所以仍为整式方程.【巩固】 此方程是否为分式方程：？【解析】 为分式方程，不能看化简以后的结果，因为它的化简不等价，取值范围发生变化。总之，只要分母上含有未知数即为分式方程！【巩固】 此方程是否为一元一次方程：【解析】 是，这个要看化简以后的结果，它的化
4、简是等价的。对于整式方程，要看化简以后的结果！【例9】 (西城区各校期中考试题)解关于的方程：【解析】 原方程可化为通分整理为，所以，经检验是原方程的解，原方程的解是【巩固】 解方程：【解析】 将方程展开，得去分母得，整理得，解得经检验不是原方程的增根，原方程的解是【巩固】 解关于的方程：()【解析】又，经检验，是原方程的解.原方程的解为.【巩固】 求为何值时，代数式的值等于2.【解析】 由题意，得，解这个分式方程，得，经检验，是原方程的根.当事，代数式的值等于2.【例10】 解方程：【解析】 原方程变形为：，去分母解得，经检验，是原方程的增根.原方程无解.【巩固】 解方程【解析】原方程化为方
5、程两边同时乘以,约去分母，得整理得解这个整式方程，得检验：把代入，得所以 是原方程的增根，原分式方程无解点评：解分式议程的步骤为：【例11】 解方程：【解析】 方程两边同时乘以约去分母，得.检验，当时，所以是增根，原方程的解是除了1和2的任何实数.【例12】 若分式方程有增根，求它的增根【解析】 移项，得，即， ，原方程的增根是【例13】 为何值时，关于的方程会产生增根.【解析】 去分母可得：，如果产生增根，那么增根为或，而增根满足化简后的整式方程，将代入可得，将代入可得.当或时，均产生增根.解分式方程组还有一种重要的方法，换元法，我们在初一下，学习二元一次方程组的时候介绍过.【巩固】 关于的
6、方程有增根，求的值【解析】 方程两边同时乘以得，即.若方程有增根，则，把代入中可得，把代入中可得，当或时，原方程会产生增根.【巩固】 已知关于的方程有增根，求的值.【解析】 原方程去分母，整理得， 把代入上面方程，解得【例14】 若方程无解，求的值【解析】 去分母，得，整理关于x 的一次方程，得,当，即时，原方程无解当时，原方程有增根，原方程无解分别将代入方程当时，无解；当，解题.综上，当或时，方程无解.【例15】 已知解方程时，不会产生增根，求实数的取值范围.【解析】 去分母整理得：若产生增根，则必是x值使即的情形当时式成为无解当时，式成为，得： 当时，原方程不会产生增根.【例16】 阅读并
7、完成下列问题：方程的解是方程的解是 观察上述方程及解，可猜想关于的方程的解是 ；用求出方程的解的方法证明这个猜想 把关于的方程变为方程的形式是_，方程的解是 进一步猜想方程的解是_，直接写出方程的解是_【解析】 ，验证：去分母，得， 按方程的形式变形为令或，便可得方程的解为， ，；，【例17】 (2005年五羊杯）方程的解为 【解析】 方程两边乘，拆项、化简得：，【巩固】 （“祖冲之”杯竞赛题）解方程【解析】 方程可化为：，即故，即故或者，经检验，均是原方程的解【例18】 解方程：【解析】 原方程可变形为：化简，去分母可得：，解得，经检验，是原方程的根.【巩固】 解方程【解析】，经检验不是原方
8、程的增根，原方程的解是【例19】 (五羊杯数学竞赛)解方程：【解析】 ，即：，即：，经检验：是原方程的根【巩固】 解方程【解析】经检验不是原方程的增根，原方程的解是【巩固】 解方程.【解析】方程可化为：故，经检验，是原方程的解讲解此题之前，可以先讲如何使用多项式除法或逐步满足法将分式拆分成两个式子之和的形式【例20】 解方程组：【解析】 此题是分式方程组，可采用去分母的方法将方程组转化为整式方程组来解去分母：将方程两边同乘以，得： 将方程两边同乘以得：， 整理方程：， 原方程组化为： 解方程组：得：把代入， 将 代入原方程组检验适合原方程组的解为【例21】 （临沂市数学竞赛题）解方程：【解析】
9、 设，则原方程可化为： ， 故或者，即或者 解之得，或，或，经检验，均是原方程的解【巩固】 解方程组【解析】把方程组的每一个方程去分母，转化为整式方程组，将得到二元二次方程组，目前我们还不会解这类方程组.若认真观察这个方程组得特点，则原方程组可写成，只需把分别看作是一个整体，则利用换元法就可以转化为二元一次方程组求解.设则原方程组可化为解这个方程组，得，即，经检验是原方程组的解【例22】 解方程组【解析】 按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，去解即按例1方法去解此方程组，会出现高次方程，目前我们还不会解因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，再利用换元思想（或叫整体代换）去解这个
10、方程组设,则原方程组变形为化简整理方程组：将方程两边同乘以，得： 将方程两边同乘以得：原方程组化为解方程组：-2 把代入 即 再解方程组：+得将代入得 经检验：是原方程组的解点评：1、换元法是初中数学中要掌握的一种重要的数学方法，尤其是换元法在各类的解方程中的运用，更为重要它可以通过换元手段，使复杂的问题变得简单，疑难问题变得容易，在学习数学知识的同时，一定要掌握一些典型的数学方法这种换元的方法将来在初三还会专门学习2、“换元”是求原方程未知数的值的一种手段，不是目的目的是求原来未知数（如,）的值所以当求得辅助未知数（如，）的值以后，一定要把原来未知数（,）的值求出来3、由以上两个例题可以看出
11、，把分式方程组转化为整式方程组，可以用去分母的方法，也可以用换元法究竞用哪种方法合适，要具体问题具体分析【巩固】 (第届华罗庚邀请赛)解方程组：【解析】 令，则原方程组化为，解得，即，解得；我们也可选设“单位1”，.【例23】 （第八届美国数学邀请赛试题）【解析】 设，则原方程可化为： ，解之得， 故 或点评：下面提供一种更好的换元的解法，设，则原方程可化为： ， ，故 然后可得， 故或【变式】 （泰州市数学竞赛题）解方程：【解析】 设，则原方程化为： 整理可得，故 若，则，故或； 若，则，故或 经检验，上述四个值均是原方程的解【例24】 解方程【解析】 设，则原方程可化为，即，解方程得：当时
12、，有，即，此方程五实数根当时，有，即，解得：经检验，是原方程的根，原方程的根式.【补充】（湖北孝感市竞赛题）解方程【解析】设，则，原方程可化为： 解之得，或者 故（舍）或.分式方程应用【例25】 已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围.【解析】 原方程两边都乘，约去分母得，所以，因为原方程有解，所以不能为增根，即，又因为方程的解事正数，所以，所以当，且时方程有一个正数解.【巩固】 当为何值时，关于的方程的解为负数？【解析】 去分母得，解得，令，解得当时原方程的解是负数.【巩固】 已知关于的方程有一个正整数解，求的取值范围.【解析】 方程有一个正整数解，且是整数且是整数当取小于6的整数时，原方
13、程有一个正整数解.【例26】 关于的方程的解也是不等式组的一个解，求的取值范围.【解析】 由去分母得，解得由题意知，即解不等式组得，即，综上可知，的取值范围是【例27】 关于的两个方程与有一个解相同，则【解析】 方程的解为，不是方程的解共同的解是课后练习练习 1 已知：，求的值.【解析】 ，即，练习 2 已知，求的值.【解析】 ，故.练习 3 若，则=_.【解析】 ，练习 4 解方程【解析】 这个分式方程的各分母都是多项式，应先分解因式确定最简公分母，从而转化为整式方程来解答.原方程可变形为：方程两边都乘以，得整理，得检验，当时1是原方程得根原方程的解是练习 5 解方程【解析】 两边都乘以，得
14、检验：当时， 是增根原方程无解点评：此题常见错误是：方程右边整数1没有乘以，因此解分式方程去分母时，方程的左右两边各项都要乘以最简公分母练习 6 如果分式方程有增根，求的值.【解析】 去分母可得，若有增根，增根为，代入可得.练习 7 (广西竞赛)关于的方程的两个解是，则关于的方程的两个解是 .【解析】 变形为，所以方程的两个解为，.练习 8 （江苏省竞赛题）解方程；【解析】 原方程可化为：故，经检验，是原方程的解练习 9 解方程：【解析】 设，则原方程变为，方程两边都乘以，约去分母，得解得：把代入，得，经检验，都是原方程的根原方程的解是练习 10 解方程组：【解析】 令，原方程组转化为，解得；原方程组的解为.练习 11 解方程组：【解析】 换元法，令，原方程组转化为，得，原解为.练习 12 若关于的方程的解是正数，求的取值范围【解析】 方程两边同时乘以得，整理得，原方程的解是正数，且，