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1、初二数学寒假专题因式分解的应用华东师大版【同步教育信息】一 . 本周教学内容：寒假专题因式分解的应用在解决实际问题时，常利用因式分解的公式进行变形和转化，这样可使计算或运算简化，避免大量的复杂运算。因式分解就是简化运算的解题工具。【典型例题】例 1. 在一条宽阔的马路上，整齐排列着10 个花坛，每个花坛的形状都像操场上的跑道圈那样两端呈半圆形，连接两个半圆边缘部分是直线的一部分。已知每个花坛的宽都是 6m，每个花坛边缘直的部分的长分别是36m、 25m、 30m、 28m、 25m、32m、 24m、 24m、 22m和 32m，试求出这些花坛的总面积。分析： 把生活中的实例转化为数学问题来求
2、解是“数学建模”思想的运用，花坛的形状应归类到数学中的几何图形，进而求出面积。可以把每个花坛的面积都看作是一个长方形与两个半圆的面积和，即一个长方形与一个圆的面积和。解： 设花坛总面积为 S，则：评析： 凭借想象力，设每个花坛的两端各组成一个圆，而 10 个花坛的中间部分顺次首尾相接，形成一个很长的长方形，这样重新组合并不改变总面积。在解题时局部使用了提取公因式进行了因式分解，并运用加法的交换律与结合律简化了整个运算过程。例 2.一圆形灯具（如图1），在一个大圆盘中，嵌入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴影部分的面积是，试求大、小圆盘的半径。图 1解： 设大圆盘的半径为Rdm，小圆盘的半径
3、为rdm，则由题意，得即由于、必有1 项为5 的倍数，则评析： 在这里因式分解是解题的关键，因为因式分解可以得到，解题思路豁然开朗。例 3.已知长方形的周长是16cm，它的两边x、 y分析： 要求长方形面积，必须利用已知条件求出两边组后分解因式，两个条件结合求值。解：，即是整数，且满足x、y，一个条件是，求其面积。，另一个是条件等式。观察等式左端特点可以考虑利用交换律、结合律分又或解得x、 y 是整数，得故长方形面积例 4. 某商场有四层，第一层有商品种，第二层有商品种，第三层有商品种，第四层有商品种，则这个商场共有商品多少种？解： 这个商场共有商品的种数为评析： 求商品的种数自然是将各种商品
4、数相加，但不应是简单的罗列，应用因式分解的知识化答案为最简形式。例 5. 图 2（ a）是一边长为长方体。用因式分解的方法说明：图的正方体；图2（b）是边长分别为a、 b、 c 的三个正方体；图2（c）是一个长为，宽为2（ a）中的正方体的体积减去图2（ b）中“三个正方体体积之和”的差是图2（ c）中长方体体积的3 倍。，高为的图 2分析： 这是一道因式分解应用问题，如何把几何模型转化为代数运算是解题的关键。对照图形，首先应掌握正方体与长方体的体积公式，然后用字母列出各体积的代数式，通过因式分解求出结果。解： 图 2（ a）中的长方体的体积为，图 2（ b）中的正方体的体积分别为、，图 3
5、中的长方体的体积为图 2（ a）中的正方体的体积减去图2（ b）中“三个正方体体积之和”的差是图2（ c）中长方体体积的3 倍。例 6.某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径，外径，长，利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？（取 3.14 ，结果保留两个有效数字）分析： 用管道外径面积减去内径面积再乘以长度L 即可。解： 根据题意，管道外径面积为，管道内径面积为，所以一节这样的管道的体积为：判断几何图形的形状例 7.已知一个凸四边形A.平行四边形ABCD的四条边的长依次为a、 b、 c、 d，且B.矩形C. 菱形D. 梯形，那么四边形ABCD是（）
6、（ 2002 年“希望杯”初二培训题）解： 因为所以即因为所以即选 A，故四边形ABCD是平行四边形比较代数式的大小例 8. 已知，则M与N 的大小关系是（）A. MNC. M=ND. 不确定（ 2002年“希望杯”初二第2 试题）解：因为所以所以因此 MN，选 B【模拟试题】1.如图，大圆的直径为a，大小圆的直径的差为b（ 1）求小圆的直径d 及阴影部分的面积S（ 2）当 a 10， b 6，取 3.14 时，求 S 的值。2.某地区根据地理位置及气候特点，在大棚种植上采用了如下的结构，占地呈矩形，四周的砖墙，上盖玻璃屋面，如果矩形的长、宽分别为a、 b，且前沿墙高为c，后墙高为 d（ 1）求这座大棚砖墙的面积S（ 2）如果 a 6.6m，b 3.4m， c0.5m， d 1.5m，求砖墙的面积3.（ 2002年“希望杯”初一培训题）4.若，则的值等于（）A. 0B.C. 1D. 3（ 2003 年“希望杯”初二第 1 试题）5.一个自然数a 恰好等于一个自然数b 的平方，则称自然数a 为平方数，如， 64 就是一个完全平方数，若，说明 a是一个完全平方数。【试题答案】1.（ 1）；（ 2） 65.942. （ 1）（ 2）原式3.4. C5. 设，则是一个完全平方数