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1、高中三角函数公式大全 图 1 三角函数的定义1.1三角形中的定义图 1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：? 正弦函数? 余弦函数? 正切函数? 余切函数? 正割函数? 余割函数1.2 直角坐标系中的定义图 2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：? 正弦函数r? 余弦函数? 正切函数? 余切函数? 正割函数? 余割函数2 转化关系 2.1倒数关系2.2 平方关系2 和角公式3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式3.2 半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式证明过程首先， sin( +)=s
2、in cos+sin cos（已证。证明过程见因为 sin( +)=sin cos+sin cos（正弦和角公式）和角公式与差角公式的证明）则sin( - )=sin +( - )=sin cos( - )+sin(- )cos =sin cos- sincos于是sin( - )=sincos- sincos （正弦差角公式）将正弦的和角、差角公式相加，得到sin(+)+sin(- )=2sincos则sin cos=sin(+)/2+sin(- )/2 （“积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式cos=sin( /2- ) ，有cos( +)=sin /2 - ( +)=sin( /2
3、- - )=sin( /2 - )+( - )=sin( /2 - )cos( - )+sin(- )cos( /2 - )=coscos - sin sin 于是cos( +)=cos cos- sin sin （余弦和角公式）那么cos( - )=cos +( - )=coscos( - )- sin sin(- )=coscos+sin sin cos( - )=cos cos+sin sin （余弦差角公式）将余弦的和角、差角公式相减，得到cos( +)- cos( - )= - 2sin sin 则sin sin =cos( - )/2 - cos( +)/2（“积化和差公式”之二）
4、将余弦的和角、差角公式相加，得到cos( +)+cos( - )=2cos cos则coscos=cos( +)/2+cos(- )/2（“积化和差公式”之三）这就是积化和差公式：sin cos=sin(+)/2+sin(- )/2sin sin =cos( - )/2 - cos( +)/2coscos=cos( +)/2+cos(- )/24.2 和差化积公式部分证明过程：sin( - )=sin +( - )=sin cos( - )+sin(- )cos =sin cos- sin coscos( +)=sin90- ( +)=sin(90- )- =sin(90- )cos - si
5、ncos(90 - )=cos cos- sin sin cos( - )=cos+(- )=coscos( -)- sin sin(- )=cos cos+sin sintan( +)=sin( +)/cos(cos+costan cos)/(cos+)=(sincoscos+sin cos)/(cos cos- sin- costan costan )=(tan +tan )/(1sin )=(cos tan - tan tan )tan( - )=tan+(- )=tan+tan(- )/1- tan tan( - )=(tan - tan )/(1+tantan )诱导公式? sin(
6、-a)=-sin(a)? cos(-a)=cos(a)? sin(pi/2-a)=cos(a)? cos(pi/2-a)=sin(a)? sin(pi/2+a)=cos(a)? cos(pi/2+a)=-sin(a)? sin(pi-a)=sin(a)? cos(pi-a)=-cos(a)? sin(pi+a)=-sin(a)? cos(pi+a)=-cos(a)? tgA=tanA=sinA/cosA两角和与差的三角函数?sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos()sin(b)? cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)? sin(a-b)=sin(a)
7、cos(b)-cos(a)sin(b)? cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)? tan(a+b)=(tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b)? tan(a-b)=(tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b)三角函数和差化积公式? sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2)?sin(a)-sin(b)=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2)? cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)cos(a-b)/2)? cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)
8、/2)积化和差公式? sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b)? cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b)? sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b)二倍角公式? sin(2a)=2sin(a)cos(a)? cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)半角公式? sin2(a/2)=(1-cos(a)/2? cos2(a/2)=(1+cos(a)/2? tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)万能公式? sin(a)=
9、 (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2)? cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2)? tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)其它公式?a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a2+b2)sin(a+c) 其中，tan(c)=b/a?a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a2+b2)cos(a-c) 其中，tan(c)=a/b? 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2? 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2其他非重点三角函数? csc(a)=1/sin(a)? sec(a)=1/cos
10、(a)双曲函数? sinh(a)=(ea-e(-a)/2? cosh(a)=(ea+e(-a)/2? tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)常用公式表（一）1。乘法公式（ 1）（a+b）2=a2+2ab+b2(2)(a-b)2=a2-2ab+b2(3)(a+b)(a-b)=a2-b 2(4)a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)(5)a3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2)2、指数公式：1n(1)a 0 =1 （ a0）（2）a P = a P（a0）（3） a m = m ana m（4）a m a n =a m n（5）a m a n = an=a m n（ 6）（a
11、m ） n =amnaannn n（8）（ bnn2（ 7）（ab） =a b） = b（9）（ a ） =a（ 10） a 2 =|a|3、指数与对数关系：b=N，则 b log a N（2）若 10b（1）若 a=N，则 b=lgN（ 3）若 eb =N，则 b= N4、对数公式：（ 1） log aabb ,b=b（2） a log aNln N eN ，e=N（3）log aNln N（ ）abeb ln a（ ）ln MNln Mln Nln a45（6）lnMlnMlnN（ ）nn ln M（ ）n M=1lnMN7ln M8n5、三角恒等式：（1）（Sin ）2+（Cos）2=1
12、（2）1+（tan ）2=(sec ) 2（3）1+(cot ) 2=(csc ) 2（4） sintan（ ） coscotcos5sin（6）cot1（7） csc1（ ）sec1tancos8cos6、特殊角三角函数值： 026432sina01210-103222cosa1213222tana013330-1010- 0cota10- 03337. 倍角公式：（ 1） sin 22 sincos（ 2） tan 22 tantan21（ 3） cos 2cos2sin 22 cos21 12 sin 28. 半角公式（降幂公式）：1cosa1cosa（ 1）（ sin ） 2 =222
13、（2）（ cos ） =221cosasin a（ 3） tan= sin a=1 cosa29、三角函数与反三角函数关系：（1）若 x=siny ，则 y=arcsinx（ 2）若 x=cosy，则 y=arccosx（ 3）若 x=tany ，则 y=arctanx（4）若 x=coty ，则 y=arccotx10、函数定义域求法：1（1）分式中的分母不能为0，（ a 0）（ 2）负数不能开偶次方，（ a 0）（3）对数中的真数必须大于 0，（ log a NN0 ）（ 4）反三角函数中 arcsinx ，arccosx 的x满足：（ -1 x1）（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此
14、时应取其交集。11、直线形式及直线位置关系：（ 1） 直线形式：点斜式： yy0k x x0斜截式： y=kx+byy1xx1两点式： y2y1x2x1（ 2）直线关系： l 1 : yk1 x b1l 2 : y k 2 x b2平行：若l1 / l 2 ，则 k1k2垂直：若 l1l 2 ，则 k1 k21常用公式表（二）/1、求导法则：（1）（ u+v） =u +v（ 2）（u-v ） =u -v（ 3）（cu ） =cu（4）（uv） =uv+u v（5） uu vuv/vv 22、基本求导公式：/a/a 1x/x（ 1）（c） =0（ 2）（ x） =ax（3）（ a） =alna1
15、1（4）（e x） /=e x（ 5）（ a x） / = x ln a（6）（ lnx ） / = x/（7）（ sinx ） =cosx（8）（cosx ） =-sinx1（ 9）（tanx ） / = (cos x) 2 =（secx ） 21/(sin x)22（ 10）（cotx ） =-=- （cscx ）(11)(secx)/(12)(cscx)/=secx*tanx=-cscx*cotx11(13)(arcsinx)/1x2(14)(arccosx)/1x2=-11(15)(arctanx)/= 12(16)arc cot xx1x23、微分/（ 1）函数的微分： dy=y d
16、x（2）近似计算： |x| 很小时， fx0=f （x 0）+f/xx（ x 0 ） *4、基本积分公式（1）kdx=kx+c（ 2） xa dx1x a 1Ca11dx ln xc（ 4） a x dxax（3） xCln a（5）ex dx exc（6） sin xdxcos x C（7）cosxdxsin xC（ ）2xdx1dxtan xC8sec2cosx21dxcot xccsc xdxsin2（9）x11dxarcsin xcx2 dxarctan xc（ 10）1 x2（11） 15、定积分公式：bbaf (x)dx0（1） af ( x)dxf (t )dt（2） aabcf
17、 ( x)dxb（3）bf x dxaf (x)dxf ( x)dxf x dx（ ）aacab4af ( x)dx0（5）若 f （ x）是 -a,a的连续奇函数，则a（6）若 f （ x）是 -a,a的连续偶函数，则 :aaa f ( x)dx 2 0f (x)dx6、积分定理：x（ 1）f t dtfxab xf b x b xf a x a x2f t dtaxbF (x) abF (b) F (a)f (x)dx（3）若F（ x）是 f（x）的一个原函数， 则 a7. 积分表1secxdx ln secxtan xC2cscxdx ln cscx cot x C11x1xC3a 2x 2 dxa arctan aC4a 2x 2dx arcsina11x a5x2a 2 dx2a ln x aC8积分方法1 fxaxb ；设： axbt2 fxa2x 2；设： xa sin tfxx2a 2；设： xa sectfxa2x 2；设： xa tan t3 分部积分法：udv uvvdu